本文主要研究内容为：1．二维平面上一类台球动力系统的周期轨道分布；2．黎曼流形上具有非一致双曲性质的微分同胚的迭代所得到的动力系统的统计性质；3．黎曼球面上有理映射迭代所产生的动力系统的大偏差性质。主要结论如下：在第一章中，我们假设在平面上有有限个具有光滑边界的有界凸区域，并且它们的位置满足所谓的可视条件，即它们中任意两个连接所形成的区域与其余的凸区域不相交，假定一个有一个具有一定初速度的点粒子在该平面上运动，当它与那些凸区域相碰撞时服从弹性碰撞的定律。我们证明了，这样的开的台球系统周期轨道是等度分布的，进一步我们给出了在一个周期中与偶数个凸区域相碰撞的周期轨道个数的分布。在第二、三章中，我们考虑一类重要的非一致双曲动力系统的统计性质-中心极限定理，及其进一步的精细结果如局部中心极限定理，带有收敛速度的中心极限定理。在第二章，我们对于满足某些条件的实值观察量，得到了中心极限定理、带收敛速度的中心极限定理和局部中心极限定理。在第三章中，对于满足某些条件的向量值的观察量，我们证明了多维中心极限定理和局部中心极限定理成立。我们证明的方法是转移算子的傅里叶变换的谱分析和一些概率论中的经典方法。在第四章中，我们考虑黎曼球面上的有理映射所产生的动力系统。这是一类重要的动力系统，长期以来一直是人们研究的一个重要的对象。我们通过分析与之相应的转移算子及其傅里叶变换的谱性质，证明了当观察量满足一些条件时大偏差定理成立。