无网格方法是目前工程领域应用较广泛的方法之一,计算精度较高,受到数值计算工作者的青睐,但这种方法面临的一个重大问题是使用常用积分限制了其优势的发挥,因此无网格积分问题的理论亟待深入研究。本文就在前人大量工作的基础上,立足于无网格方法数值积分的理论研究,综合运用各种积分理论,在无网格数值计算领域进行了一些有益的探索,其中包括无网格方法数值积分的数学基础、现有的各种无网格数值积分方法等。主要工作归纳如下:1.深入探讨几种常用无网格方法的插值理论,论证各种无网格方法之间的统一性问题。对滑动最小二乘法、径向基函数法、重构核函数法、自然邻接插值法、单位分解法等进行归纳。2.研究数值积分的理论基础,并进一步归纳各种无网格方法所采用的数值积分方法,总结这些方法的共性,并对它们进行了分类,共分三大类:背景网格积分、有限网格积分及结点积分。3.通过分析无网格方法的积分误差,找出产生误差的各种原因,归纳无网格积分误差的共性,并且针对自然邻接点方法的积分误差,通过比较各积分方法的实际效果,最终选择蒙特卡罗积分方法解决这些误差,且给出了采用蒙特卡罗积分方法的自然邻接点方法的积分步骤,以及蒙特卡罗积分在其他无网格方法上的推广。4.通过大量算例,验证蒙特卡罗积分在自然邻接点方法中积分计算的有效性。通过上述几方面的探索,本文得到的主要结论有:无网格方法的形函数多为有理式,并且采用动态插值,导致积分误差的产生;针对自然邻接点法,当结点数量多时,蒙特卡罗积分的计算精度高于Hammer积分的计算精度。综上所述,蒙特卡罗方法能够有效的解决无网格方法中形函数为有理式引起的误差、积分区域与支持区域不一致引起的误差及动态插值形函数表达式不统一引起的积分误差。一系列算例与理论解的对比证明本文的理论与方法正确性。