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有限单元法在近七十多年的发展过程中,已经成为当今科学与工程计算以及数值模拟最主要的手段之一,但常规的有限元方法对于网格畸变的敏感程度以及对于应力剧烈变化区域的分析等方面仍然存在着难以克服的缺陷。对此,本文基于高性能的杂交应力/位移函数有限元方法,针对平面线弹性断裂、平板弯曲以及平板断裂等力学问题中的难点提出了相应的解决方案。本文的主要工作内容包括:一、基于杂交应力函数法,结合Williams应力函数基本解析解,并综合利用Allman平面旋转自由度带来的优势,构造出了带旋转自由度的任意多边形杂交应力函数裂尖单元HSF-Crack-θ,采用数量较少的结点就可以准确地模拟裂尖周围的应力场。同时,将新裂尖单元HSF-Crack-θ与之前课题组提出的带旋转自由度的杂交应力函数4结点平面单元HSF-Q4?-7?共同组成新型平面断裂问题模拟体系,仅采用简便易行的网格重新划分策略,即使单元形状发生严重畸变,也可以用较低的计算代价实现高精度的平面裂纹准静态扩展模拟。二、基于杂交位移函数法,结合任意阶的Timoshenko梁函数,建立了一种构造高性能的高阶Mindlin-Reissner板单元的方法,并以此构造了三个四边形8结点高性能的中厚板单元HDF-P8-23?,HDF-P8-FREE和HDF-P8-SS1。数值结果显示这些单元有效地克服了板的剪切闭锁问题,具有较强的收敛性及数值稳定性,即使网格质量下降甚至发生严重畸变,也能给出较为精确的解答。针对特殊边界条件下平板边界附近的边界效应现象进行模拟时,仅仅采用极少的单元即可精确地捕捉并反映出边界效应现象。三、基于渐近展开法和杂交位移函数法,完成了对Mindlin-Reissner型平板中裂纹附近的位移场、相关内力场以及应力强度因子具体表达式的推导,构造了任意多结点的高阶渐近展开位移型裂尖奇异单元Asymptotic-Crack,并通过与本文构造的四边形8结点杂交位移函数平板弯曲单元HDF-P8-23?相结合,建立了新的平板断裂模拟体系。研究结果显示,即使采用了较为稀疏且含有不同畸变程度的网格划分,新体系依然较为精确地模拟了平板裂尖应力强度因子的变化情况,初步实现了对平板裂纹尺寸变化规律的研究。