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孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，它既反映一类非常稳定的自然现象，体现了一大类非线性相互作用的若干特征，为许多应用问题(如光孤子通讯)提供了启示。另一方面，这一理论又为非线性偏微分方程，尤其是为高维孤子方程提供了求显式解的方法，是应用数学和数学物理的重要组成部分，在流体力学、量子力学、经典场论、等离子体物理等领域有着广泛的应用。
对于多维孤子方程，由于这些方程的多维性和高度非线性，很难用直接的方法求解。因此，通常考虑将高维问题降为较低维的可积问题。然后通过成熟的处理低维问题的方法求解低维方程。最后利用高维和低维方程之间的联系得到多维方程的孤子解。处理低维问题常见的方法有：非线性化方法，达布变换法，反散射法，Bcklund变换，Hirota双线性法，代数几何法等。
本文通过两个新(2+1)维孤子方程与(1+1)维孤子方程的关系，借助达布变换的方法求解出(1+1)维孤子方程的精确解，进而得到两个新(2+1)维孤子方程的解。这两个新(2+1)维孤子方程是：
MKP型方程：
本文分为四部分。第一部分简单介绍孤子理论的发展和达布变换的主要思想。
第二部分是从MKP方程的谱问题出发，利用映射方法推导出Lenard递推算子K、J对，由此产生MKdV孤子方程。
第三部分考虑与(2+1)维MKP型方程相联系的(1+1)维孤子方程的达布变换，求出(1+1)维孤子方程的达布阵和(2+1)维孤子方程的精确解。
第四部分以ω=常数作为种子解，讨论(2+1)维孤子方程所得到的精确解。并对解的性质进行分析，绘出相应的孤子图象。