【摘 要】
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矩阵代数是代数学的一个重要的分支，它在计算机、图论、经济学、控制论等方面都有许多应用.保持问题是矩阵代数中一个非常有趣的研究领域，而幂等保持问题是其中一类重要的研究
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矩阵代数是代数学的一个重要的分支，它在计算机、图论、经济学、控制论等方面都有许多应用.保持问题是矩阵代数中一个非常有趣的研究领域，而幂等保持问题是其中一类重要的研究课题，幂等保持问题的结果可以用于解决某些物理问题，用于刻画矩阵半群的一般保持问题及李代数上的保持问题.因此，近年来保持问题的研究十分活跃. 本文在介绍保持问题的发展概况之后，对矩阵代数上保持k-幂等关系(k为大于1的整数)的问题进行了系统的研究，主要工作如下： (1)给出了保持k-幂等关系的映射的定义，利用归纳法，刻画了全矩阵代数上保持k-幂等关系的映射.由于k为大于1的任意整数，k的任意性使得该映射的刻画比以往保持幂等的映射的刻画更为复杂，当然，此问题的解决，使得已有的保持幂等关系的映射的相关结果成为本文结果的特例.我们的结果表明全矩阵代数上的保持k-幂等关系的映射的形式是标准的. (2)刻画了n≥3时上三角矩阵代数到全矩阵代数的保持k-幂等关系的映射.由于上三角矩阵代数中可用于刻画的“特征”元素少于全矩阵代数，因而研究的难度加大.所用的方法与前面的全矩阵代数上的方法也有所不同，我们先刻画了3阶上三角矩阵与On-3的直和的方阵的像，利用所得结果回过来再刻画2阶上三角矩阵与On-2的直和的方阵的像，进而确定所有阶数为n上三角矩阵的像.经证明，此映射的形式是标准的. (3)刻画了对称矩阵空间到全矩阵空间保持立方幂等的映射.由于对称矩阵的特殊性，位于(i,j)与(j,i)位置的元素相同，它们的像元素之间必有一定的关系，因而在刻画对称矩阵的像时要弄清楚它们的像元素之间的关系，进而推出映射的最终表达形式.经研究，对称矩阵空间到全矩阵空间保持立方幂等的映射的形式是标准的.
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