量子霍尔效应是凝聚态物理中一个重要的研究领域。1980年Klaus von Klitzing在Si MOS样品中观察到整数量子霍尔效应,随着样品纯度的提高,强磁场以及低温技术的进一步发展,1982年崔琦等人又观察到了分数量子霍尔效应。研究发现分数量子霍尔态支持带分数电荷的准粒子的激发,并且对于不同的霍尔系统中激发的准粒子的性质也是大不相同的,这些准粒子满足阿贝尔或非阿贝尔统计性质。由于其非平庸的拓扑结构和基态性质,目前实验中正在努力寻找支持非阿贝尔准粒子激发的分数量子霍尔态。非阿贝尔分数量子霍尔态的性质及其准粒子和边缘态激发是目前理论和实验研究的重点和难点。另外,通过运用交换两个非阿贝尔准粒子为基础的辫子操作使系统基态在其拓扑简并空间做幺正变换,从而实现具有拓扑保护的量子计算。此性质被微软公司用于实现拓扑量子计算机的基本原型,是目前实现使用量子计算机的重要的方向之一。本论文以填充因子?(28)1/3,5/2,12/5的三个分数量子霍尔态为研究对象,讨论这些分数量子霍尔态中准粒子,边缘态,纠缠等拓扑性质。?(28)1/3的Laughlin态中激发的准粒子满足阿贝尔统计,即交换两个准粒子后波函数产生任意相位,而对应填充因子为?(28)5/2和?(28)12/5的霍尔态中既可以产生阿贝尔准粒子,也可以产生非阿贝尔准粒子,交换两个非阿贝尔准粒子将会导致系统波函数在其简并空间的幺正变换。我们通过纠缠谱和纠缠熵了解非阿贝尔准粒子的性质;同时也考虑杂质势的影响,经过研究拓扑纠缠熵以及能级统计,发现了由于杂质势导致的基态相变以及多体局域化的现象。考虑实验中可能利用STM/AFM探针上的偏压引入杂质,我们将高斯型的杂质势引入系统并选择在圆盘几何上研究相关问题。在此情况下,杂质势的位置决定了系统的旋转对称性是否守恒。进一步,我们研究了旋转对称性破缺时准粒子及其基态纠缠等相关性质。两点接触干涉实验被贝尔实验室的Willet小组用于验证分数量子霍尔态中准粒子的统计性质,由于实验中准粒子沿系统边缘传播,其不同分量之间传播速度的相对大小对于干涉实验中相干长度和系统尺寸的估计至关重要。另外,非阿贝尔分数量子霍尔态复杂的边缘态结构及其反映的拓扑性质也是理论研究的重要方向。本论文以?(28)5/2和?(28)12/5态中的边缘激发为研究对象,利用Jack多项式等技术手段扩展系统尺寸,从数值计算的角度精确得到热力学极限下的相干长度和相干温度,为相关实验提供重要的数据支持。近年来,除了在以GaAs为主的传统半导体异质结,量子阱中实现二维电子系统以外,新型的二维材料,如石墨烯,Zn O,MoS2,硅烯,锗烯,磷烯等也逐渐被人们发掘并研究。整数和分数量子霍尔平台在这些系统中也逐渐或正在被证实,这些材料的特殊性使得电子之间相互作用与传统半导体系统也略有不同。本论文对磷烯做了初步探索,为讨论其量子霍尔态的性质及其应用打下基础。本论文的主要内容:(1)在圆盘几何中,利用Jack多项式构造边缘激发的希尔伯特空间,研究边缘态激发的能谱及其性质。由于?(28)5/2态的非阿贝尔性质,其边缘激发除了包含带电的手征玻色激发模式之外,还有一支与其传播方向相同,且电中性的费米激发模式。通过分析边缘激发态的电子密度区分出边缘态激发能谱中的两支模式。这种方法在边缘态重构发生时也同样适用,从而得到费米分支较先发生边缘重构的结论。另外,还对?(28)12/5态做了类似分析,通过大规模数值计算得到热力学极限下玻色支和费米支的边缘速度,并得到两点接触干涉实验中的相干长度和相干温度。(2)在圆柱几何中,通过Jack多项式的方法得到Laughlin态,?(28)5/2态,?(28)12/5态中不同准粒子的波函数,并利用拓扑纠缠熵得到阿贝尔和非阿贝尔准粒子的量子维度(quantum dimension)。由于阿贝尔和非阿贝尔准粒子的激发对系统边界条件的影响不同,系统波函数的纠缠谱和纠缠熵也会产生相应变化,因此从纠缠谱的角度得到了两种准粒子的相关拓扑性质。(3)研究掺杂系统杂质势强度对系统基态拓扑性质的影响以及系统局域化时能级分布和纠缠熵的性质。另外,利用高斯型杂质势模拟探针上的偏压在系统中激发准粒子,从而得到Laughlin态中e/3,?(28)5/2态中e/4和e/2准粒子的半径尺寸。(4)对于新型二维材料,本论文讨论了单层磷烯中可能实现的量子霍尔态的性质。通过类似分析单层和双层石墨烯的赝势的方法,得到单层磷烯的朗道能级和电子之间相互作用的赝势描述。磷烯的晶体结构和能带表明材料中的相互作用为各向异性,这有别于半导体异质结中理想的二维电子气。因此我们认为磷烯系统是考虑朗道能级混合以及各向异性量子霍尔效应的理想平台,并作为下一步研究的重要内容。