近年来,图论获得了空前的发展,已经渗透到物理学、化学、电子学、生物学、运筹学、经济学、系统工程以及计算机科学等学科领域.图的因子理论是图论的一个重要分支,在网络设计和计算机科学中有较重要的应用价值,并因此成为图论研究中最活跃的课题之一.在因子理论发展历程中,最基本的结论是Tutte在1947年给出来的1-因子存在性条件,他的这一理论奠定了因子理论的基础.1952年,Tutte又给出了图有f-因子的充要条件,从而推广了上述结论.到1970年,Lovasz又得到了图有（g,f）-因子的一个判定准则.从此,因子理论的研究开始活跃起来,大量关于因子理论的结果不断的涌现出来.这些理论广泛应用于组合设计、网络设计、集成电路布图设计等领域.众所周知,一个网络可以用图来表示.图的顶点和边分别对应网络中的结点和线路.常见的文件传输问题就可以如下描述：每个计算机x都有f（x）个通信端口,为了平衡整体传输过程中计算机的运载,在这f（x）个端口中,有g（x）个可以在任意时隙为同一个作业传输文件.在这个环境中,要解决的问题是如何来安排文件的传输过程,才能使得整个过程用时最短.本文所考虑的图在无特殊说明的情况下均为简单、有限无向图.对于一个图G=（V（G）,E（G））,我们分别用V（G）和E（G）表示图的顶点集合和边集合.图G的顶点数|V（G）|我们通常称为G的阶,一般用n来表示.对任意的v∈V（G）,用dG（v）表示顶点v在G中的度数.△（G）和δ（G）分别表示图G的最大度和最小度.对V（G）的子集S,用G—S表示从G中删去顶点集合S及与S关联的边所得到的子图.若S={v},则令G-v=G-{v}.对E（G）的子集X,用G-X表示从G中删去边集合X所得的子图.若X={e},则G-{e}简记为G-e.若存在V（G）的两个不交子集X和Y,使得V（G）=X∪Y,且G的所有边均有一个端点在X内,另一个端点在Y内,则称G为二部图,记为G=（X,Y,E（G））.如果|X|=|Y|,则称G为均衡二部图.设g和f是定义在V（G）上的两个整数值函数,对每个v∈V（G）,都有0≤g（v）≤f（v）.若H是图G的一个支撑子图,对任意顶点v∈V（H）,满足g（v）≤dH（v）≤f（v）,那么我们称H是图G的一个（g,f）-因子.如果H是连通的,则称H是G的一个连通因子.特别地,如果图G本身是一个（g,f）-因子,则称G为一个（g,f）-图.设a和b是两个非负整数,如果对任意的v∈y（G）,有g（v）=a,f（v）=b,则称（g,f）-因子为[a,b]-因子.如果对每个v∈y（G）,有g（v）=f（v）,则称（g,f）-因子为f-因子.如果a=b=k,则称这样的[a,b]-因子为k-因子；当k=1时,也称1-因子为完美对集.对于图G的一个因子,如果它同时包含G的一个哈密顿圈,我们就称该因子为G的一个哈密顿因子.在以上概念的基础上,我们上面提到的文件传输问题就可以对应为：求G的边集E（G）的一个划分{F₁,F₂,…,F_m}.使得每个F_i,1≤i≤m,都是一个（g,f）-因子.并且这个划分有最小数目的（g,f）-因子.事实上,我们知道对任意一个图而言,可能并没有（g,f）-因子,所以我们有必要研究图的（g,f）-因子的存在性.当更具体实际的问题出现时,可能就需要图中存在更特殊的因子,比如连通因子,本文中我们研究的图的哈密顿（g,f）-因子就属于连通因子的范畴.我们对于哈密顿因子问题的研究,主要有两方面的意义.一方面,就像我们上面的叙述,这类研究可以看作是哈密顿圈问题的推广,因此有助于我们更加深入研究哈密顿圈问题.另一方面,研究哈密顿因子对我们研究连通因子也是很有帮助的,连通因子问题与哈密顿问题和实际的信息网络有着密切的联系.如果一个图有哈密顿因子的话,那么显然该图有连通因子（而且是2-连通因子）.事实上,这也是我们研究哈密顿因子问题的根本目的和出发点.一个图要存在哈密顿因子,那么首先要满足哈密顿圈存在的条件,因此我们的研究思路可以从哈密顿圈存在的条件出发：从已有的一些关于哈密顿圈存在性的充分条件出发做相应的推广,进而得到一些相关或者类似的充分条件,使得在G中存在包含某个（甚至任意一个）哈密顿圈的因子.事实上,很多学者已经对图的特殊哈密顿因子做了研究,并且得到了丰富的结论.这里的特殊哈密顿因子指的是g（v）=a,f（v）=b时,图的哈密顿[a,b]-因子以及a=b=k时,图的哈密顿k-因子.本文正是将这类特殊的哈密顿因子推广到更一般的图的哈密顿（g,f）-因子的研究上.我们在本文中主要研究的就是图的哈密顿（g,f）-因子方面的一些结果.全文共分四章,第一章简单介绍一下图论中的一些基本概念,并给出因子、哈密顿圈问题的历史背景和进展状况以及一些已有的相关结论.这一章是后面其他各章节的基础.第二章我们主要讨论图的哈密顿（g,f）-因子的一些情况.主要结论为：定理2.1.3.设G=（X,Y）是顶点数为n的均衡二部图,b≥a>2为正整数.g（x）,f（x）为定义在V（G）上的非负整数值函数,满足（?）v∈V（G）,a≤g（v）≤f（v）≤b,且f（X）=f（Y）,（?）vi,vj∈V（G）,有f（vi）-g（vi）=f（vj）-g（vj）,如果G满足,那么对G的任一给定的哈密顿圈C,G都有一个（g,f）-因子包含C.推论2.1.4.设G=（X,Y）是顶点数为n的均衡二部图,b≥a>2为正整数.g（x）,f（x）为定义在V（G）上的非负整数值函数,满足（?）v∈V（G）,a≤f（v）≤f（v）≤b,且f（X）=f（Y）,（?）vi,vj∈V（G）,有f（vi）-g（vi）=f（vj）-g（vj）,如果G满足,那么G有2-连通的（g,f）-因子.定理2.2.1.设正整数b>a>2,G是一个n阶2-连通图.g（x）和f（x）为定义在V（G）上的非负整数值函数,满足（?）v∈V（G）,a≤g（v）<f（v）≤b.如果G满足.且对于G中任意两个不相邻顶点u,v,都满足那么对G的任意一个给定的哈密顿圈C,G都有一个（g,f）-因子包含C.推论2.2.2.设正整数b>a>2,G是一个n阶2-连通图.g（x）和f（x）为定义在V（G）上的非负整数值函数,满足（?）v∈V（G）,a≤g（v）<f（v）≤b.如果G满足.且对于G中任意两个不相邻顶点u,v,都满足那么G有2-连通的（g,f）-因子.定理2.3.1.设G是一个n阶2-连通图,整数a,b满足2≤a<b.令g（x）,f（x）是定义在V（G）上的两个非负整数值函数,使得（?）v∈V（G）,满足a≤g（v）<f（v）≤b.如果G满足且G中任意两个不相邻的顶点u和v,有则G有一个哈密顿（g,f）-因子.推论2.3.2.设G是一个n阶2-连通图,整数a,b满足2≤a<b.令g（x）,f（x）是定义在V（G）上的两个非负整数值函数,使得（?）v∈V（G）,满足a≤g（v）<f（v）≤b.如果G满足,且G中任意两个不相邻的顶点u与v,满足则G有2-连通的（g,f）-因子.第三章则讨论了图的带约束条件的哈密顿（g,f）-因子的一些情况,其主要结论为：定理3.0.4.设b>a>2是正整数,G是一顶点数为n的简单图,g（x）和f（x）为定义在V（G）上的非负整数值函数,满足a≤g（x）<f（x）≤b.图G满足,那么1.对G中任一给定的哈密顿圈C和边e∈E（G）,存在G的一个（g,f）-因子过e且包含C.2.对G中任一给定的哈密顿圈C和边e （?） E（C）,存在G的一个（g,f）-因子包含C但是不包含e.推论3.0.5.设b>a>2是正整数,G是一顶点数为n的简单图,g（x）和f（x）为定义在V（G）上的非负整数值函数,满足a≤g（x）<f（x）≤b.图G满足,那么1.对G中任意边e∈E（G）,存在G的一个2-连通的（g,f）-因子包含e2.对G中任一给定的哈密顿圈C和边e （?） E（C）,存在G的一个2-连通的（g,f）-因子不包含e.另外,在本文中我们提出了一些有待进一步研究的问题.在第四章中,我们对本文做了一下简单的总结.