目前的随机微分系统的噪声一般是Gauss过程。该噪声的主要特点是其连续性。然而,随机系统除了Gauss白噪声这种连续噪声外,还可能受到Possion噪声这种不连续噪声的干扰。比如,全球金融风暴引发的股市大幅震荡,其干扰就是不连续的。随机系统的这两种噪声组合起来可用Lévy噪声来刻划。其动力学模型是具有漂移项、扩散项和Possion跳跃项的随机微分方程。另外,在实际工程中,也大量存在着由突变现象引起参数发生跳变的系统,例如机械谐振系统等。这种参数的跳变可用Markov过程来刻画。因此,Lévy噪声驱动且具Markov跳变参数的随机微分系统在实际系统中广泛存在。而针对此类系统的稳定性与最优控制研究目前尚不多见。本文针对Lévy噪声驱动的、系统参数是Markov跳变的混杂随机微分系统,比如随机神经网络系统、随机金融系统等,综合运用Lyapunov稳定性理论、随机微分方程中的It?o公式、随机不等式、M-矩阵(或线性矩阵不等式)方法、Bellman最优性原理等,分别得到随机微分系统的自适应几乎必然渐近稳定、自适应均方稳定和自适应指数稳定等稳定性准则,设计出相应的自适应同步控制器;分析与设计市场投资组合策略,并应用于欧氏期权定价问题;得出此类随机微分系统可实现最优控制的必要且充分条件,得到了此类系统非零和微分博弈的Nash均衡点的存在条件和表达形式等。本文的上述研究工作,将丰富随机微分系统稳定性与最优控制理论,可解决Lévy噪声驱动的随机系统的稳定输出、一致响应和控制效能等关键应用问题。以下具体说明本文的主要研究工作和创新点。(1)研究带有随机扰动和Markov切换参数的中立性神经网络的自适应渐近稳定性。在介绍和分析已有相关研究现状的基础上,建立具有Gauss噪声(Lévy噪声之特例)和Markov切换参数的中立型随机神经网络模型,接着分二阶和三阶两种情形,在必要的常规假设下,利用M-矩阵和Lyapunov泛函方法得出系统自适应几乎必然渐近稳定的准则,得到自适应控制律的动态表达式,最后利用数值仿真验证系统的稳定性和控制器设计的有效性。其创新点主要是控制律的设计中巧妙地加入了一个调节项使得控制效果良好,另外用M-矩阵方法得出的稳定性准则比较简洁且便于检验。(2)考虑基于数据采样和饱和执行器的带有Lévy噪声和Markov切换参数的神经网络的均方同步问题。首先,在分析相关研究现状的基础上提出已有研究之不足,从而引出本章的研究内容及贡献。接着,建立具有Lévy噪声和Markov切换参数的主系统和从系统的动力学模型,给出必要的系统假设及要用到的基本引理。在建模时特别引入了数据采样和饱和执行器机理。接下来,利用弱无穷小算子、Dynkin公式及线性矩阵不等式方法得出系统均方同步的准则,并且得到控制器增益的显式表达式。再者,分别针对Markov参数切换缺失、Possion噪声缺失等两种特殊情形得出相应的结果。最后利用Matlab数值仿真验证本章所得结果及所用方法的有效性。其主要创新点是基于数据采样和执行饱和控制器的系统建模,并且充分考虑数据采样机理和饱和执行器机理,得到主从系统均方同步条件。(3)考虑Lévy噪声驱动下带有Markov参数切换的一主多从神经网络自适应指数同步问题。在一主多从模型中,从系统的参数待估计,且每一个从系统的状态矩阵不仅与主系统有关,还与其它从系统有关。利用系统误差设计状态反馈控制器。为提高同步的速度,设计了指数同步控制律。利用广义It?o公式、Lyapunov稳定性定理和M-矩阵方法,设计了若干自适应指数同步准则,使主系统和多从系统均方同步。同时也给出了控制器的更新律以及从系统参数的动态变化律的明晰表达式。最后用一个应用例子验证所给控制方法的有效性。其创新点主要表现在:1)提出了一主多从神经网络新模型,它以一主一从系统模型为特例;2)考虑新模型中主系统和多从系统的系统矩阵参数相互耦合,将系统的各种误差作为状态反馈量,对随机神经网络新模型设计了一种新的自适应同步控制方法。(4)考虑几何Lévy过程驱动并带有Markov转换机制的金融市场下的投资组合问题。首先提出了Lévy过程驱动并带有Markov转换机制的金融市场下的投资组合新模型,它推广了已有的Black-Scholes模型。该新模型中,债券利率、股票的回报率与波动性均随当时的金融市场状态而切换,而股票价格则由几何Lévy过程驱动。基于此新模型,利用It?o公式得到了用抛物型偏微分方程决定的投资组合策略,此偏微分方程式是现有结果的拓展,通过变量变换等方法得出了此偏微分方程的可解性。最后还给出了相关结果在解决欧式期权问题上的应用。其创新点主要表现为建立了Lévy过程驱动并带有Markov转换机制的金融市场下的投资组合新模型,以及利用It?o公式得出了投资组合策略。(5)研究带有Lévy噪声和Markov切换参数的随机微分系统的最优控制与非零和博弈问题。首先建立Lévy过程驱动的且具有Markov跳变参数的随机微分系统,给出Nash均衡点的概念。接着利用Bellman动态规划原理得出Hamiltonian-Jacobi-Bellman(HJB)方程及其逆问题的解。基于HJB方程,给出线性二次Gauss最优控制问题的解。对于线性二次Gauss微分博弈问题,利用已得出的最优控制问题的解得到非零和博弈问题的解。最后将所得结果用于股票市场博弈,得到Nash均衡点存在的条件。其创新性主要是利用Bellman动态规划原理得到了Lévy过程驱动的且具有Markov跳变参数的随机微分系统的最优控制律和非零和博弈问题的解。其结果推广了已有的关于随机微分系统的最优控制与非零和博弈问题的结论,它是微分博弈理论的重要组成部分。