本论文研究多频高维二阶振荡常微分方程初值问题q"(t)+Mq(t)=f(q(t)), q(t0)=q0,q(t0)=q0, t∈[t0, tend](1)的几何积分方法，其中M是隐含该系统振荡频率的d×d维半正定矩阵，f:Rd→Rd是充分光滑的。由于线性项Mq的出现，使得该系统具有显著的结构特征，并且由矩阵M的半正定性导致该系统的解是一个多频高维非线性振子。该系统广泛存在于物理学、天文学、分子动力学、经典和量子力学、电子工程等应用科学领域，例如某些轨道计算问题、与时间无关的薛定谔方程、由波动方程借助于线方法(method of lines)得到的时间依赖的耦合常微分方程组、Fermi-Pasta-Ulam问题等都具有系统(1)的形式。因为该系统呈现了显著的振荡或高振荡特征，所以传统的算法，例如经典的Runge-Kutta型方法和线性多步法都不能给出正确的量化性态。即便是一些已有的几何积分法，如辛算法或对称方法，仍然不能有效地求解这类振荡问题。因此近年来针对有效求解多频振荡问题算法的研究受到越来越多的关注。　　在过去的十多年中，大多数的研究集中在单频振荡问题q"(t)+ω2q(t)=f(q(t))， q(t0)=q0， q(t0)=q0, t∈[t0，tend]，(2)其中ω＞0是已知频率或可以精确估计的频率。然而多频高维振荡系统(1)是更加复杂的耦合系统，单频问题的算法一般不适用于求解多频问题，主要原因体现在以下两个方面。第一、求解单频问题方法的系数都是依赖于v=ωh，而多频振荡问题(1)中M是一个d×d维矩阵，隐式地包含了多个不同的频率，因此求解单频问题的方法不能应用于多频振荡问题(1)。第二、多频振荡问题(1)本身具有耦合条件，使得针对单频问题的一些分析推导不能直接推广至多频问题，例如本论文第3章中得到的针对多频问题方法的辛条件，就比针对单频问题方法的辛条件要多一些额外的耦合条件。因此求解多频高维振荡系统(1)几何积分方法的研究是一个新的重要的挑战。　　因此在本论文中，我们系统地研究求解多频高维二阶振荡常微分方程(1)的几何积分方法。主要内容在第2至第8章中论述。第2章分析和构造有效的adapted Runge-Kutta-Nystr(o)m(ARKN)方法，着重于改进经典Runge-Kutta-Nystr(o)m方法的更新级，使更新级更好地逼近振荡系统精确解满足的积分方程，因此得到的方法在模拟解的性态上具有更好的效果。第3章考虑同时改进经典Runge-Kutta-Nystr(o)m方法的更新级和内级，得到extend Runge-Kutta-Nystr(o)m(ERKN)方法。为了研究ERKN方法阶条件的代数结构，我们构建了新的有根树集合并在该集合上定义了若干映射，由此导出了ERKN方法的阶条件。我们还研究了ERKN方法的辛条件和对称条件，由此分析和构造了同时保持研究系统辛结构和对称结构的辛对称ERKN方法。基于ARKN方法和ERKN方法的格式，第4章提出了两个新型的改进St(o)rmer-Verlet算法并将它们应用于科学计算的四个不同领域。第5章研究了显式ERKN方法的误差界、证明了当矩阵M对称半正定时，显式ERKN方法的误差界与‖M‖无关，这一点对于‖M‖(》)1时具有重要的意义。第6章推导出一种新的精确保能量方法（同时也是对称方法），并研究了此方法的性质。第7章提出求解多频高维振荡系统(1)的一种新的三角傅里叶配置法，由此通过选取高阶数值积分我们可以导出任意高阶的方法，这对于高精度计算具有十分重要的意义。第8章推导高效的Filon型渐近方法来求解高振荡系统(1)，其中M是一个非奇异可对角化的矩阵，并且有大的特征值和‖M‖(》)1。　　论文的创新点主要有下面五个方面:　　第一、本文所建立的几何积分方法都是基于多频振荡系统(1)的精确解所满足的常数变易公式，充分地利用了由线性项Mq(t)带来的结构特征，使得算法的结构更好地逼近精确解的结构。　　第二、论文导出了解多频振荡哈密尔顿系统(H(q,p)=1/2pTp+1/2qTMq+U(q)) ERKN方法的辛条件、对称条件和它们的耦合条件。　　第三、不仅研究了分别保持对称性、辛性和能量的算法，而且构造了同时保持两种不同结构的方法。　　第四、对于隐式方法，迭代子过程不可避免。传统保能量算法应用于系统(1)时收敛性条件依赖于‖M‖，步长h必须取得非常小，然而本文导出的保能量算法收敛性条件却与‖M‖无关，这就允许选择较大的步长h进行计算，这一点对于长期计算具有十分重要的意义。　　第五、求解系统(1)的经典Gautschi型方法以及它们的理论分析都依赖于矩阵M的分解，而本文中所有几何积分方法的格式以及相应的理论分析都直接使用矩阵M，避免了矩阵M的分解。众所周知矩阵分解除了增加额外的工作量以外，往往会引入新的误差，尤其当M的维数比较大时还会导致其它不利因素。本文给出的几何积分方法成功避免了矩阵分解，使得数值计算更为高效。