次序统计量是统计推断中一类常用的统计量,根据次序统计量来自的总体的分布情况,我们很容易求出单个次序统计量的分布,这在次序统计量的应用中扮演了重要角色。在总体分布连续时,我们给予详细讨论。设总体X的密度函数为f(x),分布函数为F(x),X1,X2,…,Xn是来自该总体的一个样本,该样本的次序统计量为X1：n≤X2：n≤…≤Xn:n.若它们的观察值依次记为x1:n,≤x2:n≤…≤xn:n。则第k(1≤k≤n)个次序统计量Xk:n的密度函数为fk:n(x)=n!/(k-1)!(n-k)![F(x)]k-1[1-F(x)]n-kf(x).特别地,当X～U(0,1)时,Xk:n～Beta(k,n-k+1)。根据此结论的证明方法,我们还可以求出多个次序统计量的联合分布。由F(X)～U(0,1)知,均匀分布次序统计量的研究结果十分重要,且对于任意连续递增分布函数F(x)有：F(Xi:n)(?)Ui:n,i=1,2,…,n,F-1(Ui:n)(?)Xi:n,i=1,2,…,n.近些年来,次序统计量的随机比较理论被广泛应用于概率统计、可靠性分析、排队论、寿命试验、运筹学、生存分析、保险精算以及投资决策中,故次序统计量的随机比较受到了广泛关注。由于在可靠性分析、寿命试验、生存分析等领域的实际数据大多具有右偏且尾部较厚的特点,而Gamma分布和’Weibull分布右偏且尾部较厚,故经常假设此类随机变量服从Gamma分布或Weibull分布。故对于Gamma分布和Weibull分布次序统计量随机比较的研究更有意义。下面先给出两个比较重要的定义。定义1：令X=(X1,X2,…,Xn),Y=(Y1,Y2,…,Yn)为实向量,令X(1)≥…≥X(n),Y(1)≥…≥Y(n)分别为它们的从大到小排列的统计量,若(?)X(i)≥(?)Y(i),(?)j=1,2,…,n-1,且(?)X(i)=(?)Y(i),则称向量Y被向量X所控制,记为X≥Y。定义2：设X=(X1,X2,…,Xn),Y=(Y1,Y2,…,Yn)为随机向量,若对所有的上界集U(即满足条件：对于任意Y≥X且X∈U,都有Y∈U的集合),都有P(X∈U)≥P(Y∈U),则称X依多变量随机序原则大于Y,记为X≥(?)Y。下面先介绍Gamma分布类次序统计量的随机比较理论。孙丽红在控制意义下讨论了独立不同分布但形状参数相同的两个Gamma分布次序统计量的随机比较,得出了两个重要结论,参见文献[26]。文献[9]把此结论由Gamma分布推广到了广义Gamma分布gp,q(x)=p/Γ(q/p)xq-1e-xp(x>0,p>0,q>0)。即当形状参数p,q满足一定条件时,得到下面定理：定理1：令X=(X1,…,Xn),Y=(Y1,…,Yn)为独立广义Gamma分布随机变量,其共同的形状参数为p,q(0<p≤1,0<q≤1),尺度参数分别为(γ1,…γn),(μ1,…,μn),若(λ1,…λn)≥(μ1,…,μn),则(Xl:n,…Xn:n)≥st(Yl:n,…,Yn:n).下面讨论Weibull分布类次序统计量的随机比较理论。文献[8]和[18]讨论了在控制意义下,独立但服从不同Weibull分布最大最小次序统计量的随机比较的一些结果,在此基础上,文献[9]讨论了在控制意义下,乘方广义Weibull分布f(t,v,γ)=v/γtv-1(1+tv)1/γ-1e1-(1+rv)1/γ(t>0,v,γ>0;v,γ是形状参数)的次序统计量的随机比较问题,得出了下面定理：定理2：令X=(X1,…,Xn),Y=(Y1,…,Yn)为独立乘方广义Weibull分布随机变量,其共同的形状参数为v,γ(v≤γ,0<v≤1),尺度参数分别为(λ1,…,λn),(μ1,…,μn),若(λ1,…,λn)≥(μ1,…,μn),则(Xl:n,…,Xn:n)≥st(Yl:n,…,Yn:n).为了进一步研究次序统计量,我们探讨了次序统计量与样本随机变量的关系,下面定理给出了次序统计量与任意样本随机变量的联合分布函数。定理3：设X1,X2,…,Xn是来自连续分布函数Fx(x)的独立样本,该样本的第r(1≤r≤n)个次序统计量记为Xr:n,则X1,Xr:n的联合分布为P(X1≤x,Xr:n≤y)=(?)其中,Fr:n,fr:n分别为Beta(r,n-r+1)的分布函数和密度函数。由次序统计量和样本随机变量的联合分布,我们证明了X1,Xr:n正相关,且当样本量n→∞时,两者的相关关系越来越小,协方差趋于0。次序统计量在稳健决策估计、可靠性分析以及质量控制方面应用广泛。利用次序统计量进行估计,可以消除不稳定性带来的误差。