本文论述了图的顶点标号。　 　　给定一个无向图G，G的一个L(2，1)-labeling是指从其顶点集V(G)到非负整数集的一个映射f，满足：|f(x)-f(y)|≥{21当dG(x,y)=l当dG(x,y)=2这里dG(u，v)表示u和v之间的距离，即u和v之间最短路的长度。象集合中的元素称为标号。若一个L(2，1)-labeling中的所有标号都不超过整数k，则称之为k-L(2，1)-labeling。图G的L(2，1)-labeling数，记作λ(G)，是使得图G存在k-L(2，1)-labeling的最小整数k。特别地，若G的某个L(2，1)-labeling中的标号是连续出现的，则称之为G的一个No-holeL(2，1)-labeling。图G的No-holeL(2，1)-labeling数，记作-λ(G)，是使得图G存在No-holek-L(2，1)-labeling的最小整数k。由定义易知，如果一个n阶图G存在No-holeL(2，1)-labeling，则λ(G)≤λ(G)≤n-1。 　根据n阶图G的边数，连通分支数和直径给出了Gc存在哈密顿路和哈密顿圈的充分条件，从而相应地得到了G存在No-holeL(2，1)-labeling的充分条件。然后根据这三个参数刻画了λ(G)=n-1的图。主要结果有：(1)设G是阶数n边数m的简单图，如果m≤n-2或其连通分支数p(G)≥「(n+1)/2」或G是直径d≥[n/2]+l的连通图，则Gc有哈密顿路，从而G有No-holeL(2，1)-labeling。(2)设G是n个顶点m条边的图，如果λ(G)=n-1，则n-2≤m≤(n-1)(n-2)/2。此外对任意满足n≥3且n-2≤m≤(n-1)(n-2)/2的整数n和m，存在阶数n边数m的简单图G使得λ(G)=n-l，并且边数为n-2和(n-1)(n-2)/2的图是确定的。(3)设G是n阶简单图，如果λ(G)=n-l，则p(G)≤[n/2]。此外对任意满足n≥4且1≤p≤[n/2]的整数n和p，存在阶数n连通分支数p的简单图G使得λ(G)=n-1，并且分支数为「n/2]的图是确定的。(4)设G是阶数n≥6直径d的连通图，如果λ(G)=n-1，则2≤d≤[n/2]+l。此外对任意满足n≥6且2≤d≤[n/2」+l的整数n和d，存在阶数n直径d的简单图G使得-λ(G)=n-1。(5)对任意满足2≤k≤n-l的整数n和k，存在一个n阶简单图G使得-λ(G)=k。 给定一个无向图G及整数j≥k，G的一个L(j，k)-labeling是指从其顶点集V(G)到非负整数集的一个映射f，满足：|f(x)-f(y)|≥{jk当dG(x,y)=2当dG(x,y)=1若一个L(j，k)-labeling中的所有标号都不超过整数t，则称之为t-L(j，k)-labeling。图G的L(j，k)-labeling数，记作λj,k(G)，是使得图G存在t-L(j，k)-labeling的最小整数t。有向图D的L(j，k)-labeling数记作-λj，k(D)，其定义类似于无向图G，只需将其中dG(u，v)变为D中从u到v的有向距离。 G.J.Chang等人[21-22]根据有向图D中最长有向路的长度l(D)研究有向图的L(j，k)-labeling问题，得到了一些非常好的结果。 证明了：(1)对任意一个有向图D有-λj,k(D)≤(-x(D)-1)j，这里-x(D)表示D的有向着色数，并且界是可达到的；(2)对任意一个有向图D，如果它不含有向圈或者其最长有向圈长度为l(D)+1，则-λj,k(D)≤lj，并且界是可达到的。最后我们对l(D)=3且所含最长有向圈长不等于3的有向图D给出了设置其3j-L(j，k)-labeling的一个有效算法。 研究了图的L(3，2，1)-labeling问题。主要结果有：(1)设Pn为n个顶点的路，则当n=1时，λ3(Pn)=0；n=2时，λ3(Pn)=3；n=3，4时，λ3(Pn)=5；n=5，6，7时，λ3(Pn)=6；n≥8时，λ3(Pn)=7。(2)设Cn为n个顶点的圈，则当n=3，4，5时，λ3(Cn)=n+3；n=7时，λ3(Cn)=9；偶数n≥6时，λ3(Cn)=7；奇数n≥9时，λ3(Cn)=8。(3)设T是最大度为△的树，则λ3(T)=2△+1或2△+2或2△+3。(4)对最大度为△的图G，λ3(G)≤△3+2△。