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本文讨论了下面一类弱散射非线性浅水波方程ut-uχχt+(a+b)uuχ-auχuχχ-buuχχχ+λ(u-uχχ)=0(0-1)Cauchy问题解的动力学性质.方程(0-1)包含弱散射的Camassa-Holm方程(a=2,b=1)和弱散射的Degasperis-Procesi方程(a=3,b=1).这些动力学性质包括在适当的条件下方程(0-1)解的局部适定性、整体强解存在唯一性、爆破解、爆破现象、波的无限传播速度以及整体弱解的适定性等.
主要内容安排如下:
第一章研究了方程(0-1)的整体解和爆破现象.在初值uo∈Hs(s＞3/2)的条件下,建立了该方程的局部适定性.在初值uo∈Hs∩L1(R)和势yo=(1-(θ)2χ)u0改变符号的条件下,得到了方程(0-1)解爆破的充分条件.最后在适当条件下证明了强解的存在性.
第二章研究了方程(0-1)的另外一些性质.在uo∈Hs∩L1(R)(s＞3/2)和势y0=(1-(θ)2x)uo不改变符号的条件下,运用和第一章不同的方法证明了该方程整体解的存在唯一性,并得到了强解在Hs范数空间趋于零(t→∞),在适当的条件下,我们得到了波的无穷传播速度.
第三章研究了在(1-(θ)2x)uo∈M+(R),uo∈H1(R)∩L1(R)条件下方程(0-1)在分布意义下整体弱解的存在性和唯一性.
第四章中,在(1-(θ)2x)uo∈M(R),uo∈H1(R),suppyo-(∈)(-∞,xo)suppy+0(∈)(x0+∞)的条件下,我们研究了弱散射Degasperis-Procesi方程在分布意义下整体弱解的存在唯一性.值得注意的是与第三章相比,uo∈L1(R)的假设被取消了.