本硕士论文的研究内容属于凸几何泛函分析理论和Brunn-Minkowski理论领域,此领域发展迅速并且是几何领域的一个重要分支.本硕士论文主要利用几何分析中的凸体理论研究函数不等式与极值问题,涉及Loomis-Whitney不等式,迷向测度,联系投影不等式Petty猜想的L_p-形式的不等式等问题,这些也都是凸几何领域的热点问题.本文主要围绕两个问题展开论述,第一个问题研究的是对偶的Loomis-Whitney的逆不等式关于（n-1）-维截面体积的上下界.第二个问题建立了L_p空间中与凸体的投影体及L_p-投影体的p-表面积相关的不等式,且给出了p-表面积关于凸体体积的上下界的不等式.本文第三章的主要内容是推广了Meyer的对偶形式的Loomis-Whitney不等式,建立了Meyer不等式的逆不等式,且估计了关于截面的（n-1）-维体积的上下界.通过引入标架F={u₁,...,u_n}（也是Rⁿ中的一组正交基）,及所定义的DLW-常量,我们证明了一个关键引理,给出了关于原点对称的平面凸体的严格不等式及证明.其次列举了一些特殊凸体的相关结论,例如单形（simplex）和单位立方体（cube）.最后研究了凸体函数化的不等式,给出了对应函数的估计.本文的第四章是对第二个问题的论述,将建立L_p空间中与凸体的投影体及L_p-投影体的p-表面积相关的不等式,给出了p-表面积关于凸体体积的不等式.根据我们对p-表面积,L_p-带体的研究,结合联系投影不等式L_p-Petty猜想的不等式,我们建立了L_p-投影体的p-表面积相关的不等式,并且给出了当凸体为L_p-带体Z_p时的相应不等式.最后,我们给出了p-表面积的上下界的估计.从而把经典的Brunn-Minkowski理论下的成果推广到了L_p空间.