拓扑材料作为与传统Landau相变无法解释的新物质态,其在凝聚态中引起了广泛关注。与普通材料不同,拓扑材料最显著的特征是有受拓扑保护的无能隙边界态。这些边界态能够实现粒子物理中的一些粒子模型如Dirac费米子、Majorana费米子以及Weyl费米子。这些粒子在自旋电子学和量子计算中有重要作用。在拓扑材料中,自旋轨道耦合有重要作用。在拓扑绝缘体中,强自旋轨道耦合会反转能带,使其与传统绝缘体能带拓扑不等价。如果在强自旋轨道耦合的系统中引入超导配对,将能形成拓扑超导。人们提出了一系列基于强自旋轨道耦合作用实现拓扑超导的模型。包括利用拓扑绝缘体或其他强自旋轨道耦合材料的方法。然而,人们近些年发现自旋轨道耦合并不是实现拓扑超导的必需条件。理论研究表明,在s波超导表面缀加磁矩螺旋排布的磁性原子链,能够形成拓扑超导态。在这个模型中,无需自旋轨道耦合就能实现一维和二维的拓扑超导。原因是其螺旋磁矩结构能带来等效的自旋轨道耦合作用和自旋能带退简并所需要的等效塞曼磁场。不仅如此,这种螺旋的磁矩结构能自发形成,这种良好的自组织性为实验实现带来便利。1.我们利用BdG平均场自洽方法,验证了单链磁矩自组织行为及其拓扑性质。在此基础上,我们扩展到多链情况。在三角格子中,多链结构中磁矩自发形成多种磁矩构型。包括共面的结构和非共面的结构。在共面磁矩构型中,系统有手征对称性,能够保证开边界态可以存在多重简并。我们并发现在奇数链中,系统会有反射对称性。在共面相中,此对称性会为系统带来额外的空间手征对称性。在非共面相中,非空间的手征对称会消失,而此额外的空间手征对称却能保留下来。在四方晶格中,因为原胞的更高对称性,这种反射对称能扩大到任意链数大于1的系统。而且,因为此对称性,当链数为偶数时,系统能够同时存在用Z和Z2描述的分类。2.上述结果激发了我们研究手征对称拓扑材料中空间对称性的兴趣。在手征对称材料中,反射对称会给系统带来第二个手征对称。在这样的系统中,一般有两个拓扑数。我们详细讨论了反射对称不改变系统拓扑分类,且两个拓扑数可以都是Z形式的系统,这样的系统中,两个手征对称性分别保护着不同的边界态,我们发现了区分这些边界态的方法并且与两拓扑数联系起来。在一维系统,这些边界态可以分成三部分,两部分分别只受一个手征对称保护,第三部分同时受两个手征对称保护。在引入微扰破坏其中一个手征对称以后,相应只受这个手征对称保护的边界态会被破坏。三维情况,除了两个三维拓扑数,还需要考虑两个手征对称对应的一维环绕表面态节点的拓扑数的影响。这两个一维拓扑数会给表面节点带来额外的拓扑保护。不同位置非简并表面节点都同时受它们保护,只有同时破坏两个手征对称才能破坏它们。但是当两个节点都处于表面二维布里渊区同一个位置时,只需破坏一个手征对称就可能同时破坏这两个节点。我们也讨论了反射对称性改变系统分类的情况,这种情况会导致Z和Z2拓扑数同时存在。3.非点群对称包括滑移对称和旋转滑移对称。非点群对称能够带来与点群对称不一样的奇特现象,如莫比乌斯环结构色散、漏斗型Dirac费米子模。我们讨论了非点群对称对二维拓扑超导体的影响。在拓扑超导布里渊区中沿滑移方向可以分为无数条一维线,依据非点群对称本征值划分的子系统中,这些一维线所属拓扑分类不同。这些不同分类对应有不同的拓扑数,从而导致系统边界态在不同的位置不同。