【摘 要】
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设α为d次代数整数，它的极小多项式为P(χ)=χd+b1χd-1+…+bd-1χ+bd,其中bi∈Z,α1=α,α2,…,αd为α的所有共轭根.如果α的所有共轭根都是正实数，则称α是全实正的.α的所
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设α为d次代数整数，它的极小多项式为P(χ)=χd+b1χd-1+…+bd-1χ+bd,其中bi∈Z,α1=α,α2,…,αd为α的所有共轭根.如果α的所有共轭根都是正实数，则称α是全实正的.α的所有共轭根之和称作α的迹，记作trace(α),即trace(α)=∑di=1αi,trace(α)/d称作α的绝对迹.关于全实正代数整数的绝对迹，有著名的“Schur-Siegel-Smyth trace problem”[22]: 给定ρ＜2,证明除了有限个以外，对于所有的全实正代数整数α,都有trace(α)/d＞ρ. 寻找具有较小绝对迹的全实正代数整数是研究上述问题的重要手段之一.在本文的研究过程中，我们结合Chebyshev多项式构造了一种新的辅助函数，对Sk的上下界进行了优化，其中Sk=∑di=1αki.我们因此获得了更好的全实正代数整数对应极小多项式P(χ)的系数的取值范围，大大缩短了寻找全实正代数整数的计算时间. 结合上述方法的计算结果，我们证明了不存在次数d=15绝对迹小于或等于1.8的全实正代数整数，并将“Schur-Siegel-Smyth trace problem”中ρ的值提高到了1.792818.
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