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Cm×n表示复数域上所有m×n阶矩阵的集合。设矩阵A∈Cn×n,称满足rank(Ak)=rank(Ak+1)的最小非负整数k为A的指标,记为Ind(A)。设A∈Cn×n,Ind(A)=k,若X∈Cn×n满足矩阵方程AkXA=Ak,XAX=X,AX=XA则称X为A的Drazin逆,记为AD。若Ind(A)≤1,AD称为A的群逆,记为A＃。显然,使得(Ak)#存在的最小非负整数k就是矩阵A的指标,此时AD=Ak-1(Ak)#=(Ak)#Ak-1。
分块矩阵的Drazin逆(群逆)在求解奇异微分方程和差分方程、马尔可夫链、迭代方法、密码学等许多方面中有着重要的应用。一些学者对分块矩阵Drazin逆研究的主要内容为矩阵的Drazin逆(群逆)表达式和矩阵的指标,其中矩阵指标对矩阵的Drazin逆计算及表达式有重要意义。
本文在第一章介绍了本课题的研究背景、研究现状及研究意义;第二章介绍了本文相关的基础知识;在第三章和第四章给出了本文的研究成果,主要为:
1.给出分块矩阵(AOBC)(A,C为同阶方阵)指标的界,其中矩阵B满足以下几种情形:(1)B=c1A+c2C,c1,c2为复数且c1+c2≠0;(2)B=ApCq,p,q为正整数且p＜Ind(A),q＜Ind(C);(3)AmBCn=0,其中m≤Ind(A),n≤Ind(C),并给出当BC=0时,分块矩阵(ACBO)指标的界。
2.给出两个矩阵的和P+Q指标的上界,其中PQ=0且P,Q∈Cn×n,并应用此结论给出P+Q的群逆存在条件及表达式。利用该表达式,本文也给出了当CA=0,CBD=0时,矩阵(ACBD)的群逆存在条件及表达式。