计算机层析成像的数学基础是Radon变换，它的重要应用有医学CT、工业CT和地球物理反演等.在实际应用中，人们关心的往往是函数图像发生重大改变的地方，如两种人体组织的交界处、地球物理反演两种介质的交界面等.因为图像的不规则的突变部分(峰变处)通常包含了其本质的信息.例如图像亮度的不连续性表示景物中含有边缘；在心电图或雷达信号中，令人感兴趣的信息包含在信号的峰变处.函数f(x，y)的Radon变换的反演是已知f(x，y)的Radon变换，求f(x，y).有时，由于整个反演f(x，y)需要处理的数据量比较大，或者所需数据不完全时，反演f(x，y)就较困难.从文献[5，7，20]可知，奇性反演所需的数据量不是很大，只和函数图像发生奇性附近的投影数据有关.Radon变换的精确反演只是对光滑的函数是有效的，所以对图像函数发生奇性的地方要特别关注，需要研究它的Radon变换的奇性传播和奇性反演.A.G.Ramm对古典Radon变换对函数在它的支集的边界上恒大于零，且仅在支集的边界上有跳跃奇性时给出Radon变换的奇性和函数奇性的关系.而实际应用中，奇性不一定发生在边界.在3.1节给出了在二维空间中，一类分片光滑函数在支集内部有跳跃奇性时Radon变换的奇性和函数奇性的关系，采用了对函数作光滑延拓的方法.证明了如果直线lpω和函数f(x，y)的产生跳跃奇性的曲线段集合Γ中的任意一条曲线段相切，那么函数f(x，y)的Radon变换Rf(p，ω)在p=-p附近是Lipschitz-1/2次奇性的.如果线lpω和函数f(x，y)的产生跳跃奇性的曲线段集合Γ中的任意一条曲线段都不相切，那么函数f(x，y)的Radon变换Rf(p，ω)∈C∞；反之，如果函数f(x，y)的Radon变换Rf(p，ω)在p=-p附近是Lipschitz-1/2次奇性的，那么函数f(x，y)在其奇性曲线段上就是跳跃奇性的. 图象重建问题，它的数学理论基础是Radon变换及其逆变换，它已经独立地出现在医学、工程等很多科学领域，而奇异性的大小和图像边缘的检测是图象重建的重要部分.长期以来，Fourier变换是研究函数奇异性的主要工具，但它缺乏空间局部性，只能确定函数奇异性的整体性质，而难以确定各奇异点的位置及分布情况.也就是说，当函数有许多奇异点时，用Fourier变换难以确定各奇异点的位置及奇性的强弱.而小波变换可以聚焦于信号的局部结构，因此小波变换可以给出函数在一个区间甚至一个点处的Lipschitz正则性.图像的奇异性往往发生在分片光滑的奇性曲线上，对于一类分片光滑的图像函数，我们研究用一维小波变换检测图像的边缘和确定函数图像的发生奇性地方的Lipschitz指数的大小，这是本文的一个创新点.证明了用一维小波沿互相垂直的两个方向对函数图像进行边缘检测，也有二维小波变换检测图像边缘的理论结果.函数f(x，y)在一致Lipschitz-α区间内，其关于变量y的一维小波变换|Wfx(u，s)|是与sa+1/2同级衰减的. 根据函数的Radon变换的奇性和原函数奇性之间的对偶关系，3.2节用一维小波变换检测投影数据的奇性，即原函数的Radon变换的奇性.再根据Legendre变换的对合变换性质，用Legendre变换反演原函数的奇性.Legendre变换的数值实现用的是中间插值的方法. 在应用实现部分给出了图像重建中广泛使用的Shcpp-Logan头部图像的边缘检测结果.分别给出了Shepp-Logan头部图像的π/4到3π/4角度范围内的Radon变换的图像，用一维小波变换检测到的Radon变换的奇性曲线的图像，还有最终根据Radon变换的奇性曲线反演出的Shepp-Logan头部图像的边缘曲线. 本文在第四章还研究了分片光滑函数在其支集内部有跳跃奇性时，沿上半圆曲线lrξRadon变换的奇性和原函数奇性的关系，如果上半圆曲线lrξ和函数f(x，y)的产生跳跃奇性的曲线段集合Γ中的任意一条曲线段相切，那么函数f(x，y)的Radon变换Rf(r，ξ)在r=-r附近是Lipschitz-1/2次奇性的.如果上半圆曲线lrξ和函数f(x，y)的产生跳跃奇性的曲线段集合Γ中的任意一条曲线段都不相切，那么函数f(x，y)的Radon变换Rf(r，ξ)∈C∞；反之，如果函数f(x，y)的Radon变换Rf(r，ξ)在r=-r附近是Lipschitz-1/2次奇性的，那么函数f(x，y)在其奇性曲线段上就是跳跃奇性的.给出了奇性反演的例子.