拓扑概念在凝聚态物理中的引入取得了巨大的成功,它丰富了我们对各种量子相的理解,超越了朗道自发对称破缺的范畴。在这条通往丰富多彩拓扑世界的道路上,拓扑概念被用于各种量子材料的拓扑分类,包括绝缘体、金属、超导体、以及玻色体系等等。例如,拓扑非平庸的绝缘体是一类体态绝缘而表面或边缘具有受到拓扑保护的金属态的电子材料。与拓扑绝缘体类似,拓扑超导体是一类体态拥有全能隙而表面态是受粒子-空穴对称性保护的马约纳拉费米模的超导材料。在此基础上,拓扑超导体被认为是实现并操控马约纳拉费米子的理想平台。马约纳拉费米子是它自身的反粒子,服从非阿贝尔量子统计规律,并且被提议用来实现容错拓扑量子计算。近年来,大量的理论和实验工作致力于在实际材料中找到马约纳拉费米子存在的充分证据。尽管该领域的研究不断取得进展,但离最终实现拓扑量子计算依旧有漫长的道路要走。在本论文中,我们围绕拓扑超导的微观模型及其在具体材料体系中的实现展开一系列的理论与计算研究。本文的结构如下:第一章,我们简要介绍拓扑概念在凝聚态物理中的发展,主要集中在拓扑绝缘体和拓扑超导体。另外,在这一章的结尾,我们提供了绝缘体和超导体按照对称性进行拓扑分类的表。第二章介绍我们在拓扑绝缘体和超导体界面中引入磁性杂质的相关研究工作。之前的一系列研究表明拓扑绝缘体和s-波超导体的界面具有类似于无自旋的p-波超导体的特性。具体表现为在该界面中的一个量子磁通涡旋可以束缚一个马约纳拉费米子,以及界面的边缘存在马约纳拉边缘态。在本章工作中,我们发现在拓扑绝缘体和超导体的界面中引入单个的磁性杂质会在超导能隙中引导出Yu-Shiba态。当引入大量磁性杂质时,Yu-Shiba态会展宽成杂质能带。但是,当磁性杂质的浓度低于10%的时候,超导能隙不会被杂质能带关闭。接下来,我们研究两个磁性杂质在该界面中的RKKY相互作用,理论计算表明随着超导能隙的增加RKKY相互作用的振荡幅值和周期将会逐渐受到压制。由于短程铁磁和长程反铁磁相互补偿,在平均场理论近似下的铁磁居里温度并不会随着超导能隙的改变而发生显著变化。由于低温下超导性和铁磁性同时存在,因此可以在该界面中实现手性拓扑超导体。考虑到界面体系不方便直接进行实验探测,第三章,我们研究二维Rashba自旋轨道耦合的超导体中无序诱导的拓扑相变。我们发现磁性无序可以将一个拓扑平庸的超导体转变成拓扑非平庸的超导体,这种转变伴随着超导能隙的关闭和重开。在拓扑非平庸超导体中引入安德森无序时,尽管其超导性不会受到影响,但其拓扑性将会被破坏。我们计算了不同类型以及不同程度掺杂情况下该体系的拓扑不变量,进一步证实了无序诱导的拓扑相变。另外,我们讨论了本章的研究结果和实验实现的联系目前,绝大部分实现拓扑超导体的方案都是基于近邻效应,因此将超导性和拓扑性结合在简单的单一材料中具有很重要的研究意义。第四章,我们研究了拓扑超导态在单层合金材料Pb3Bi中实现的可能。首先,我们计算了 Pb3Bi生长在Ge(111)衬底上的能带结构,发现了巨大的Rashba劈裂。更重要的是,我们的计算表明在第一布里渊区中费米面以下100毫电子伏特处存在6个鞍点,直接导致了态密度上出现第二类范霍夫奇点。该体系的费米面可以通过掺杂或者外加栅压来调节。基于重整化群的分析,我们发现在足够低的温度下该体系会发生超导相变。进一步研究表明,超导配对对称性只可能是f-波或者简并的p-波,这取决于该材料的具体参数。在本章的结尾,我们讨论了在该材料中实现拓扑超导体态的可能性。第五章,我们对本论文作出一个简短的总结与展望。