微分算子是一类重要的无界线性算子,其研究领域十分广泛,包括亏指数理论、自共轭扩张、数值方法、特征函数的完备性和特征值的依赖性、渐近估计、强制性以及反谱问题等许多重要分支.本文围绕边界条件依赖谱参数的三阶微分算子的自伴性和特征值的依赖性,多点不连续Sturm-Liouville问题,Riesz基的构造及其稳定性等三个专题展开研究.第一部分研究了一类边界条件依赖谱参数的三阶微分算子,其中两个边界条件是分离的且线性依赖谱参数,另外一个边界条件是耦合的.首先在一个新的Hilbert空间中构造了一个新的内积,把所研究的问题转换成该Hilbert空间上对称微分算子的特征值问题,证明了算子的自伴性,特征值以及特征函数的相关性质.其次,使用微分方程初值问题的基本解,构造了一个整函数,证明了整函数的零点是算子的特征值,得到了Green函数.最后,证明了算子的特征值关于方程的部分系数以及边界条件的系数矩阵的依赖性,并且得到了特征值关于给定系数和矩阵的微分表达式.第二部分研究了一类方程中含有抽象线性算子且边界条件中含有抽象线性泛函的多点不连续Sturm-Liouville问题.对于这类问题,首先研究了解的存在唯一性.其次,通过对边值问题主体部分的研究,证明了相应算子的同构性、Fredholm性和强制性等性质,给出了算子的预解关于谱参数是递减的,但无穷远点并非是它的最大下降点的结论.第三部分首先利用正弦函数和余弦函数构造了两组序列,通过序列的完备性和有界性证明了相应的序列构成空间L~2[0,π]的Riesz基,并讨论了该Riesz基的稳定性.作为应用,以上面构造的Riesz基为基底,考虑了一组与带有Dirichlet边界条件的Sturm-Liouville问题的特征函数列有关的新序列,证明了新的序列是L~2[0,π]空间的Riesz基.全文共分为五章:第一章是本文的研究背景和主要结果;第二章是一类边界条件依赖谱参数的三阶微分算子的自伴实现及其Green函数;第三章是一类边界条件依赖谱参数的三阶微分算子的特征值关于问题的依赖性;第四章是具有抽象线性泛函的多点不连续Sturm-Liouville问题的可解性和强制性;第五章是Riesz基的构造与稳定性的研究.