本文主要研究了几类有禁匹配和有禁对合的计数问题。本论文由三部分组成。 第一部分主要研究一类有禁匹配的计数问题。匹配是没有不动点的对合。第二部分主要研究有禁对合问题。最后一部分主要是关于不完整Motzkin路的等式和关于对称三叉树和不交图的等式的组合解释问题。 第一部分由第二章和第三章组成。在第二章中，我们感兴趣的问题是一类有禁匹配的计数问题。我们得到下面的结论。 1.在[2n]上避免12312模式的包含m个相交的匹配数等于1/n(n-1+mn-1)(2n-mn+1). 2.在[2n]上避免12312模式的匹配数等于3-Catalan数Cn,3。 3.同时避免12312模式和121323模式的匹配与在第一层没有峰的Schr(o)der路之间有一个一一对应。他们的计数与super-Catalan数是一致的。 4.在[2n]上的同时避免12312模式和121323模式的包含m个相交的匹配数是1/n(nm)(2n-mn+1). 这是super-Catalan数的一个细化。 5.通过运用Stanley的振荡杨表与避免12312模式的匹配之间的一一对应，我们刻划了对应于避免12312模式的匹配的振荡杨表。 6.在[2n]上避免12312模式的匹配与从(0，0)到(2n，n)的走E=(1，0)和N=(0，1)步的不穿过线y=x/2的格路之间存在一个一一对应。 7.通过对生成树的研究，我们证明了12132，12123，12321，12231，12213模式和12312模式是Wilf等价的。 在第三章中，我们开始研究避免1123模式和1132模式匹配的计数问题。我们得到了下面的结论。 8.在[2n]上避免1123模式的匹配与从(0，2)到(2n，0)的非负格路之间存在一个一一对应。 9.在[2n]上避免1123模式的匹配数等于从(0，2)到(2n，0)的非负格路数，即3/n+23(2nn-1)。 10.避免1123模式的匹配的计数问题可以缩减为某些格路的计数问题。 11.在[2n]上避免1132模式的匹配与从(0，0)到(2n，0)的以向上步开始的可以通过x轴的格路之间存在一个一一对应。 12.在[2n]上避免1132模式的匹配数等于1/2(2nn)。 第二部分由第四章和第五章组成。在第四章中，我们给出了在[n]上的避免3214模式的对合与长为n的Motzkin路之间的一个一一对应。由于模式3214和模式1432在翻转取补的运算下是等价的，从而我们解决了Guibert提出的猜想，即在[n]上避免1432模式的对合数等于Motzkin数Mn。我们的构造在特殊情况下导出了下面的一些结果。 13.在[n]上避免321模式的对合与n长的在x轴上没有水平步的Motzkin路之间存在一个一一对应。 14.在[n]上避免321模式的对合数等于([nn/2)。 15.在[n]上避免321模式的包含k个固定点的对合数Ikn(321)等于Ikn(321)={k+1/n+1(n+1n-k/2)当n-k为偶数0当n-k为奇数. 16.在[2n]上避免321模式的没有固定点的对合数等于Catalan数Cn。并且这样的对合对应于长为2n的Dyck路。 在第五章中，我们从另外一个角度来考虑有禁对合的问题。我们研究了有n个字母的恰好包含r≥0个231模式的对合的生成函数。我们给出了求包含了给定数目个231模式的对合的生成函数的明确表达式的一个算法。我们得到下面的结论。 17.对于给定的r，要找到这样的生成函数只需考虑最多在2r+2个字母上的对合。 18.通过把这个算法运用到包含了给定数目个231模式的避免12…k(k…21)模式的对合与包含了给定数目个231模式的偶(奇)对合上面，我们导出了他们的生成函数的明确表达式。 在本文的最后一个部分，通过给出具有多条提升线的不完整的2-Motzkin路与自由的3-Motzkin路之间的一个一一对应，我们得到了一个最近由Cameron和Nkwanta导出的等式的组合解释。我们还给出了在不交树上的一个改变奇偶性的对合。通过这个对合我们导出了一个关于不交树和对称的三叉树的公式的组合解释。从而解决了Hough提出的公开问题。我们用Panholzer和Prodinger的表示方式来表示不交树。我们还找到了一类不交树与对称的三叉树之间的一个对应。关于不交树的另外一个结果是通过在连通的不交图上的对合来得到了给定边数与下降数的不交树和给定了点数与边数的连通不交图之间的一个关系，就是说我们可以用有n+1个点m条边的连通不交图的数目来表示有n条边k个下降的不交树的数目。