图像是人类获取信息的主要来源。由于客观因素制约或者不恰当的处理,图像在经过生成、传输或存储步骤后,最终获得的图像可能是含有噪声、模糊、对比度过低等特征的退化图像,这严重影响图像分割、识别、理解等后续处理的质量。因此,人们需要通过图像去噪、解模糊等图像复原技术尽量还原真实的图像。然而,从数学角度看,图像复原是一类反问题（inverse problem）,是不适定的（ill-posed）,因此图像复原一直是图像处理中一个具有挑战性的基本课题。图像分割是图像分析领域中基本的任务,分割的结果会影响到图像分析、理解等后续处理步骤。由于没有通用的分割标准,分割结果的评判常常具有不确定性,因此图像分割也一直是图像处理中一个具有挑战性的基本课题。该学位论文主要在偏微分方程（PDE）框架下研究图像复原（去噪、解模糊）与分割（含二值化）问题。该文以冲击滤波（shock filter）算子与几类扩散方程（Perona-Malik扩散、定向扩散、间接扩散、四阶扩散）以及时间序列分析中的指数平滑方法为研究主线,针对具体的图像复原或分割问题,提出相应的含冲击滤波算子或扩散算子的PDE模型。其中,冲击滤波的作用是解模糊和增强低频信息;保边缘扩散的作用是在保留目标边缘的同时平滑噪声等虚假细节,并抑制冲击滤波放大噪声的副作用;四阶间接扩散的作用是更好地保留低频分量信息。具体研究内容如下:（1）自适应冲击-扩散复原模型与数值计算为了复原带噪声的模糊图像,该文提出一个含正则化冲击滤波算子与扩散算子的PDE模型,其中自适应性是通过正则化的边缘检测算子来实现的。这里的正则化与通常采用高斯函数作为卷积核函数不同,该文采用软化子（mollifier）作为卷积核函数,并给出了对应的数值计算必需的卷积掩模（mask）。为了高效求解模型,提出了一个结合有限差分和指数平滑的混合数值算法。实验表明,与相关的PDE模型相比,该模型对于带噪声的模糊图像具有更好的复原效果。（2）Perona-Malik扩散的正则化与图像去噪Perona-Malik各向异性扩散方程（PM模型）在偏微分方程图像处理领域中扮演着重要的角色,然而它存在理论上不适定和应用上噪声敏感的问题。针对这两个问题,一些文献提出了空域正则化、时域正则化与时-空域正则化的PM模型,这些模型中的正则化是通过扩散系数中的函数梯度的正则化来实现的,其中某些文献在离散情形或弱解意义下讨论了解的适定性问题。该文研究发现,PM模型的时域正则化可以从指数平滑的角度给予解释,从而时域正则化可以统一在指数平滑框架下进行研究。基于这个观点,该文提出一个新的时-空域正则化PM模型,它是一个由两个方程构成的偏微分方程组。与现有正则化PM模型不同,该文的正则化是通过扩散系数中的函数的正则化来实现的。该模型有理论和应用两个方面的优点:一是理论上可以采用标准方法证明弱解的存在唯一性;二是实验表明它对高斯噪声、泊松噪声、椒盐噪声和斑点噪声具有很强的抗噪性。为了高效求解模型,设计了一个半隐式并行分裂算法,并讨论了数值格式的稳定性。（3）带有定向扩散的两相图像分割模型两相图像（如文本图像）是指具有两个不同灰度级范围的图像,一个灰度级范围对应的区域被称为目标,另外一个灰度级范围对应的区域被称为背景。对于这类图像,边缘是其重要的主要特征,在分割过程中对目标边缘的保护显得尤为重要。从定向扩散的角度出发,该文提出一个含源项的保边缘分割模型,并设计了一个半隐式并行分裂算法。实验证实了该模型与算法对两相图像分割的有效性。（4）低对比度或对比度变化的退化文本图像的二值化在退化文本图像中,文字的低对比度或对比度变化是典型的退化特征之一。针对这类退化文本图像的二值化,该文提出了一个四阶间接扩散的PDE模型。该模型将自适应冲击滤波算子与时间相依的二值分类器耦合于四阶间接扩散过程中。这里,四阶间接扩散既能有效平滑噪声,又能较好保留低对比度文字的边缘信息;冲击滤波算子可以增强低对比度文字,同时避免低对比度文字因扩散造成的模糊而导致的文字边缘的错位;时间相依的二值分类器能够控制二值化的节奏（先弱后强）。为了高效求解模型,该文设计了一个半隐式并行分裂算法,并对国际文本图像二值化竞赛数据库（DIBCO 2009-2016）进行测试。测试结果表明,与四个相关的PDE模型以及四个非PDE算法比较,该模型取得了最好的二值化效果。