本文研究了美式期权的定价及其应用和隐含波动率的计算问题。这里“美式”是指"American Style"，即具有提前实施功能的期权，而不仅仅是指普通的美式期权。本文主要研究数值计算方法，并从数值计算方法的角度入手，对金融模型进行相应的理论分析。 首先讨论的是美式期权的BTM方法。期权定价在金融研究中具有非常重要的地位，自本世纪中叶以来一直是数理金融研究的重要课题。BTM既是期权定价的数值方法，又是期权定价问题的离散模型，它体现了期权定价问题的结构。我们在BTM的框架下，不仅得到了美式期权自由边界的存在性，单调性，终值时刻的位置，上下界估计，以及永久美式期权的定价公式，尤其重要的是，我们用BTM直接证明了美式期权价格在自由边界上的一阶连续性(自由边界条件)，这说明美式期权价格在自由边界上的一阶连续性是内涵于美式期权定价的BTM结构之中的，而无需任何其他的附加条件。对于跳扩散模型下的美式期权，我们同样用BTM方法研究了自由边界的性质，得到了相应的结果。 研究的第二个问题是对金融中的跳扩散模型的计算方法和理论分析的深入研究。我们非常感兴趣的问题是在一般的跳扩散模型下寻求永久美式期权的最佳实施边界的显式表达式，这是一个很有金融意义的问题。现有的结论中，能够得到显式公式的情形局限于股价只能发生正跳(看跌期权)或股价对数过程的跳量分布为指数分布(负跳)的条件下。我们用偏微分方程的方法，对一般的跳量分布函数给出了永久美式期权定价的显式表达式。我们还把它应用到保险领域及信用风险领域，研究了保费带随机波动的保险公司的破产概率问题以及随机利率下公司债券的定价以及发行债券公司的破产概率问题。 研究的第三个问题是期权市场隐含波动率的计算问题，即根据期权市场的价格信息重构(Recovering)原生资产隐含波动率。隐含波动率的计算一直是期权定价中的一个非常重要的问题，也是一个非常具有实际应用价值的问题。Dupire的研究将它化为了一个标准的反问题，但是Dupire公式却由于涉及对实测数据的数值微分等因素因而是不适定的。假定隐含波动率是原生资产价格和时间的函数，我们用正则化方法通过变分问题得到了求解隐含波动率的由一个二阶非散度型方程和一个完全非线性变分不等式耦合的定解问题。这个计算问题的难点在于变分不等式的非齐次项中含有未知函数的二阶导数项，我们用惩罚方法处理变分不等式，在用有限元离散时采用hermit插值和隐式方法，保证了计算的精度和稳定性，并对离散后的非线性方程组定解问题采用迭代求解，给出了迭代格式和相应的收敛性分析，并给出了数值试验的计算结果。