量子Rabi模型是描述量子比特和振子系统相互作用的最简单的模型之一,它的原始形式仅包含单光子或者线性相互作用。在本文中我们讨论了单光子量子Rabi模型的拓展——双光子Rabi模型,双模Rabi模型以及单光子和双光子相互作用并存的混合Rabi模型,探讨不同相互作用对Rabi模型的影响。我们利用基于Bogoliubov算子方法,给出了它们的解析精确解,并分析了它们的量子可积性。这3个模型都可以在电路QED等系统中实现,研究这3个模型不仅具有理论价值,还为实验进一步探索丰富的光与物质相互作用现象提供了依据和参考。在第一章中,我们回顾了只考虑单光子相互作用的量子Rabi模型的求解方法。借助Bargmann空间和Bogoliubov算子方法,我们给出了对称和非对称的量子Rabi模型的解析解,并验证了两种方法的等价性。随后,我们简单介绍了 Braak的量子可积性判据。在第二章中,我们研究了双光子Rabi模型的解析解。双光子Rabi模型具有Z4对称性。利用Bogoliubov算子方法,我们引入了用于构造系统本征态的拓展压缩态。借助su（1,1）李代数和薛定谔方程,我们给出了系统本征态的系数所满足的三阶迭代关系。根据哈密顿量的对称性,我们给出该模型的G函数,它的零点对应本征能量。根据Braak的量子可积性判据,双光子Rabi模型是超可积的。利用G函数的基线结构,我们分析了g→ω/2时的能谱塌缩现象。借助有限阶展开和变分方法,我们给出了形式更为简洁的近似结果。在第三章中,我们研究了双模Rabi模型的解析解。双模Rabi模型具有两个对称性:光场的U（1）对称性和系统整体的Z2对称性。利用Bogoliubov算子方法,我们引入了双模拓展压缩态。利用哈密顿量的对称性,我们给出该模型的G函数,并指出它是可积的。我们进一步分析了双模Rabi模型的基线性质和g→ω时的能谱塌缩行为。最后,我们研究了混合Rabi模型。对称性的缺失使得混合Rabi模型更难解析求解。我们构造了两种不同形式的Bogoliubov算子,最终给出了混合Rabi模型的G函数。混合Rabi模型的本征能量只需要一个指标标记,而模型本身有两个自由度,这表明它是不可积的。当双光子相互作用强度g2→ω/2时,系统的本征能量趋于负无穷,出现了能谱塌缩现象。我们进一步构造了一个等效的单光子哈密顿量来描述混合Rabi模型的行为。相比原始哈密顿量,该等效单光子哈密顿具有一个正的偏置,抑制的光子频率以及增强的单光子相互作用强度。这说明双光子相互作用的引入等效地增强了 Rabi模型的单光子相互作用强度,为实验提供了另外一条通往强相互作用的道路。