本篇论文我们探讨几类偏微分方程的数值方法,针对这些方程,我们提出一些数值格式,严格给出该格式的稳定性结果和收敛性误差估计,并给出一些例子验证我们的结论。我们主要讨论的是分数阶型微分方程。近几年,此类方程在数学建模中的应用越来越广泛,由不同分数阶微分方程导出的模型被很多领域被提出,如材料、机械和生物系统,并发现针对一些具有记忆,不均匀或遗传性质的材料,分数阶微分方程相对于整数阶更有优势。随着分数阶微分方程在建模领域的发展,其数值格式的构造也引起了越来越多人的兴趣。论文主要内容如下:第一章,介绍分数阶微积分的历史和背景,并回顾一些现有的工作,基本定义和预备知识,这些都会在后面章节所用到。后我们总结本篇论文的主要结果。第二章,致力于分数阶粘弹性模型方程MHD流的数值逼近。我们提出一种在时间方向采用有限差分,空间方向采用谱方法的离散格式,并给出了其稳定性分析和收敛估计。若O<β<1为时间方向阶数,文中证明了在时间方向上有(2-β)阶,空间方向有谱收敛精度。我们列出一些数值例子验证我们的理论估计,也给出不同参数β对流体的影响。第三章,考虑广义二级流体通过多孔介质反常扩散问题的数值方法。我们给出基于时间方向有限差分,空间方向Legendre谱方法的数值格式,严格推导分析了其稳定性和收敛估计,证明了格式是无条件稳定的,收敛阶为O(△tmin(2-α,2-β +N1-m),其中△t,N和m分别为时间步长,多项式次数及精确解在空间方向的正则度。α和β,0<α,β<1是所涉及的两个不同的分数阶导数阶数。一些数值试验验证该方法的有效性,和所得的理论结果。第四章,讨论Rosenau-Burgers方程的有限差分/傅里叶谱方法,一个要特别注意的是非线性对流项的处理。对该格式我们给出了详细的分析,并证明是无条件稳定的。误差估计表明数值有O(△t2+N1-m 的收敛阶数,其中△t,N和m分别是时间步长,多项式次数及精确解在空间方向的正则度。同样一些数值例子验证我们的结论。第五章,提出了一种有效的数值格式,用于求解具有非局部粘性项的水波模型,该模型描述了表面水波的传播。利用Caputo型的分数阶导数定义逼近非局部分数阶算子,导出一种时间空间格式。该格式对分数阶导数采用已知的5/2阶格式,并用混合线性化处理非线性项。分析表明格式是无条件稳定的。误差估计给出结合二阶向后差分和5/2阶格式,在时间方向为二阶收敛,空间方向有谱收敛。一些数值例子验证该格式的有效性和精度。最后本方法用于考察非局部粘性波方程的解的渐近衰减率,同时也考虑了不同参数对衰减率的影响。