论文部分内容阅读
本文主要研究有关矩阵问题中各种解的扰动分析。利用代数和分析的方法对各类问题给出一些新的扰动界，包括广义极分解，矩阵特征空间与奇异空间，奇异值Rayleigh商，广义特征值问题，非线性矩阵方程以及结构线性方程组等。第一章，介绍了矩阵扰动分析中一些重要概念。同时对本文的主要内容作了总的叙述。第二章，当原矩阵与其扰动矩阵的秩不相等时，对广义极分解中的次酉极因子和半正定极因子给出了一些扰动界。对次酉极因子我们改进了以往的一些结论。对半正定极因子，获得任意酉不变范数下的扰动界。特别改进了正定极因子在Frobenius范数下的一个经典的结果。第三章，研究Hermite矩阵特征空间在Frobenius范数的加法和乘法扰动。使用特征值的双分离度，给出了一些绝对与相对扰动界，从某种意义上来说改进了以往相应的结论。第四章，研究矩阵奇异空间在Frobenius范数下的绝对与相对扰动界。使用奇异值的双分离度，获得左、右奇异空间各自的绝对扰动界和左右奇异空间联合的绝对扰动界；由此导出奇异子空间的条件数的上界。同时也导出Wedin’s sin（?）型定理的相对扰动界和左右奇异空间各自的相对扰动界。第五章，研究奇异值的Rayleigh商问题。一方面将Hermite矩阵的Rayleigh商问题的一些结论推广到奇异值的Rayleigh商上。另一方面给出近似奇异值在任意酉不变范数下的一些界。第六章，研究可对角化矩阵束的广义特征值的扰动界。将孙[66]的三个结论从正规矩阵对推广到可对角化矩阵对上。第七章，研究非线性矩阵方程X±A*X-1A=P的Hermite正定解的存在性及其扰动分析。首先，给出矩阵方程X+AX-1A=P的Hermite正定解的分布情况和利用微分的方法给出最大解的一阶扰动界，部分地改进了文献[75，79]的结论。其次，使用微积分的技术对矩阵方程X±A*X-1A=I的Hermite正定解给出了一些新的扰动界，并用数值例子加以说明。第八章，研究结构线性方程组的结构向后扰动误差分析。给出了两类结构线性方程组解的结构向后误差的计算公式。