鞍点问题及复对称线性系统迭代算法的研究

来源 :华东师范大学 | 被引量 : 0次 | 上传用户:yesheng1991
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大型稀疏线性方程组的数值求解问题广泛存在于电磁学问题,最小二乘问题,约束优化问题及工程中数值模拟问题等,这些问题经过有限元或有限差分等数值离散方法得到一些具有特殊结构的大型稀疏线性方程组,如鞍点问题,复线性系统等.该论文主要针对几类具有特殊结构的大型稀疏线性方程组:奇异鞍点问题,非奇异鞍点问题和奇异复对称线性系统,给出几种有效的迭代算法和预处理子,并给出相应迭代方法的收敛性质和数值实验,具体如下:首先,针对奇异鞍点问题,提出了两类含参数的不精确Uzawa方法:广义含参数不精确Uzawa方法(GPIU)和广义预处理含参数不精确Uzawa方法(GPPIU).首先分别介绍了这两类方法的迭代格式,然后利用半收敛的定义给出其半收敛的充分条件.其次,结合Uzawa方法和SOR方法各自的优点,得到一类Uzawa-SOR迭代方法,分析给出了该方法半收敛的条件,然后通过相应的数值算例验证它的有效性.然后针对非奇异鞍点问题,利用广义SOR方法(GSOR)的特点,给出推导该方法最优参数的一个简单方法.然后,针对奇异鞍点问题,首先介绍了正则化的Hermitian和Skew-Hermitian分裂迭代方法(RHSS),然后分析得到该方法是无条件半收敛的.同时,在分析的过程中,我们发现HSS方法求解奇异鞍点问题时,也是无条件半收敛的,弱化了之前文章的结果.最后通过一系列的数值实验验证该方法的有效性和稳定性.再次,针对非奇异鞍点问题,利用矩阵分裂方法,给出两类预处理子:然后针对广义鞍点问题,也给出了两类有效的预处理子.分别对这四类预处理子给出了详细的谱分析,他们具有较好的特征值聚集性质,最后通过一系列的数值实验验证这些预处理子的谱分布的情况及实际的有效性.最后,针对奇异复对称线性系统,我们将广义修正的HSS算法(GMHSS)推广到求解奇异线性系统,详细给出了半收敛分析,并得到了半收敛的条件.最后给出了详细的数值实验结果,进一步验证该算法的半收敛性和有效性.
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