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教学案例：
小学数学学习内容之一的“空间与图形”有一个重要的内容，即组织学生推导有关平面几何图形的面积、立体图形的体积的计算公式。学生在学习此类内容时一般经历四个环节：转化、发现、推理、应用，从而推导出公式、应用公式。
在教学中，学生能主动投入“转化”环节，因为此环节是动手操作环节，较有趣、直观，而且转化的结果能使学生体会成功的喜悦。“发现”、“推理”环节，是抽象思维的过程，学生无法深入发现与推导公式有关的内容，更没有完整地进行自主推理，因此兴趣不强，积极性不高。
如何在激发学生“发现”兴趣的同时，引导学生保持学习热情并很快真正地进入推理过程，培养学生的推理能力呢？其实，“发现”、“推理”都是为了顺利地推导计算公式。两个环节应该是一个完整的过程，学生有可能在观察发现的同时进行推理。因此，教师应该在学生推理之前，引导学生为“推理”而去“发现”。在教学时，我作了如下设计：
教学思路：
1.确立本节课的学习目标。上课伊始便告诉学生我们这节课的任务是推导圆柱的体积计算公式，使学生明确学习目标。“转化”环节活动后，教师用语言激励学生，“转化”过程只是推导公式的序曲，更引人入胜的，更有趣的过程是发现、推理。让学生明确此过程的重要性后，再布置任务——找出能推导圆柱体积公式的有关的信息。
2.改变小组合作的形式。同桌两人一组合作，一个学生拿着圆柱，另一个学生拿转化成的近似长方体（利用学具）比较，观察、发现。
3.为推导公式去寻找信息，学生经历完整的推理过程。对两人小组合作的内容提出要求：猜测计算圆柱的体积可能需要哪些条件，转化后的近似长方体与圆柱有哪些相等的关系？如何利用这些相等的关系推导出圆柱的体积公式？在纸上记录观察、发现、推理的内容。记录的内容要能明晰地反映出推理公式的过程。
由于有实物作比较，便于观察，学生很快找到转化前后两图形间的相等关系，圆柱体积计算公式很快地被推导出来。
4.适时进行多媒体课件演示。在大屏幕上演示转化前后两个图形之间的关系、推导过程。让没能完全地推导出公式的学生加深理解。
5.灵活运用公式。推导出圆柱的体积计算公式V=πr2h后，我再让同桌两人合作测量需要的数据计算圆柱体积。这时又生成了新的知识，学生发现刚刚推导出的公式似乎派不上用场。因为学生不能直接测量到圆柱的底面半径，只能直接测量圆柱的高、底面周长（或直径）。计算圆柱体积时，不能直接利用公式V=πr2h，此时必须灵活运用公式。学生又推导出了圆柱的体积计算公式还有V=π(d÷2）2h；V=π（c÷π÷2）2h。
6.课后引导学生继续发展。课后作业要求学生观察、比较：转化前后的两个图形，什么变了？什么没变？近似长方体与圆柱之间还有哪些关系？
课后反思：
《数学课程标准》在第二学段“空间与图形”知识的内容标准中明确指出：“在教学中，应注重使学生探索现实世界中有关空间与图形的问题；应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换。”在初中(7—9年级)第三学段“空间与图形”知识的内容标准中也明确指出：“在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。”由此可见，《数学课程标准》对小学阶段的培养学生的推理能力提出了明确要求，而且小学阶段培养的推理能力对中学阶段的数学学习有直接的影响，因此，小学数学教师应注重培养学生的推理能力。
1.给学生提供较完整的推理空间，引导学生经历完整的自主推理过程。
北京师范大学周玉仁教授一直倡导：凡是学生能自己探索得出的，决不替代；凡是学生能独立思考的，决不暗示。要为学生多创造一点思考的时间，多一点活动的余地，多一点表现自我的机会，多一点体验成功的愉快。在第一次教学中我在小组合作交流中推导出公式，然后利用板书似乎也引导学生推导出了公式。但是我们提供给学生的是支离破碎的空间。如何引导学生经历完整的推理过程?教学中，我设计了“对两人小组合作的内容提出要求”环节：猜测计算圆柱的体积可能需要哪些条件?转化后的近似长方体与圆柱有哪些相等的关系?如何利用这些相等的关系推导出圆柱的体积公式?在纸上记录观察、发现、推理的内容，记录的内容要能明晰地反映出推理公式的过程。把“发现”与“推理”过程通过同桌两人合作，这就给学生提供了相对完整的推理过程，大部分同桌同学共同完成了一系列的猜测、比较、观察、发现、交流、推导、记录等活动，并推导出圆柱的体积计算公式。学生有了思考的时间、活动的余地、也体偿了成功的喜悦。在这个过程中，教师没有提示、干预学生的思考。实践证明学生有能力自主完成这个推理过程。
2.为学生营造合作推理的氛围，挑选合理的合作伙伴。
合作学习也是《数学课程标准》明确提出的学生学习数学的重要方式。教学中，我采取的是同桌两人合作的形式。因为学生要观察、比较转化后的近似长方体与圆柱(利用学具)，比起4人小组，两人各持一个图形，更利于集中注意力比较、探索与交流，记录发现、推理过程。实践证明，同桌合作也会生成新知，也能培养学生的合作能力。
3.在实际操作中练习，在练习中第二次推理。
在教学中的巩固练习时，我组织学生测量圆柱形状的学具，计算出体积，学生在测量计算时与刚推导出的公式产生了冲突，不能应用V=πr2h求圆柱体积。由于学生已经历了一次完整的推理过程，所以很容易推导出已知圆柱的底面周长(或底面直径)和高，求圆柱的体积的公式。既灵活应用公式，又再次经历了推理过程。实践证明，在教学“空间与图形”知识时，没有必要安排学生机械地套用公式反复训练，经历了完整的推理过程后，学生是可以正确掌握公式并灵活应用公式的。
浙江的斯苗儿老师曾指出：教师假定学生事先对图形的面积、体积公式全然不知，不符合学生的实际。由此我们可以联想到许多类似的推导一些平面图形周长面积公式、立体图形体积公式的课堂。有的学生在课前是知道公式的，推导面积、体积计算公式时，我们有可能是在组织部分学生验证前人的发现。因此我们更有必要引导学生经历发现、推理的过程，而不仅仅停留在转化的层画。转化的过程固然很重要，但发现与推理的过程更是难点。此外还须灵活应用公式，走出机械套用公式的误区，以免学生在已知圆柱的底面周长(或底面直径)和高求体积时束手无策。教师既不能依赖小组合作淡化难点，又不能完全放手让学生盲目地探索。教学中，我对学生的观察发现提出了具体的要求，并没有禁锢学生的思维，学生反而有与教材上不同的动态生成。对学生的活动目标提出明确要求，这也是培养学生有目标地进行科学试验的科研精神，也是如何提高课堂效率的尝试。作为数学教师，我们在体现新理念的同时，更要关注如何让40分钟的课堂实起来，切实为学生知识的学习、能力的培养，为学生的发展在进行教学活动，而无须太多表面的热闹。
小学数学学习内容之一的“空间与图形”有一个重要的内容，即组织学生推导有关平面几何图形的面积、立体图形的体积的计算公式。学生在学习此类内容时一般经历四个环节：转化、发现、推理、应用，从而推导出公式、应用公式。
在教学中，学生能主动投入“转化”环节，因为此环节是动手操作环节，较有趣、直观，而且转化的结果能使学生体会成功的喜悦。“发现”、“推理”环节，是抽象思维的过程，学生无法深入发现与推导公式有关的内容，更没有完整地进行自主推理，因此兴趣不强，积极性不高。
如何在激发学生“发现”兴趣的同时，引导学生保持学习热情并很快真正地进入推理过程，培养学生的推理能力呢？其实，“发现”、“推理”都是为了顺利地推导计算公式。两个环节应该是一个完整的过程，学生有可能在观察发现的同时进行推理。因此，教师应该在学生推理之前，引导学生为“推理”而去“发现”。在教学时，我作了如下设计：
教学思路：
1.确立本节课的学习目标。上课伊始便告诉学生我们这节课的任务是推导圆柱的体积计算公式，使学生明确学习目标。“转化”环节活动后，教师用语言激励学生，“转化”过程只是推导公式的序曲，更引人入胜的，更有趣的过程是发现、推理。让学生明确此过程的重要性后，再布置任务——找出能推导圆柱体积公式的有关的信息。
2.改变小组合作的形式。同桌两人一组合作，一个学生拿着圆柱，另一个学生拿转化成的近似长方体（利用学具）比较，观察、发现。
3.为推导公式去寻找信息，学生经历完整的推理过程。对两人小组合作的内容提出要求：猜测计算圆柱的体积可能需要哪些条件，转化后的近似长方体与圆柱有哪些相等的关系？如何利用这些相等的关系推导出圆柱的体积公式？在纸上记录观察、发现、推理的内容。记录的内容要能明晰地反映出推理公式的过程。
由于有实物作比较，便于观察，学生很快找到转化前后两图形间的相等关系，圆柱体积计算公式很快地被推导出来。
4.适时进行多媒体课件演示。在大屏幕上演示转化前后两个图形之间的关系、推导过程。让没能完全地推导出公式的学生加深理解。
5.灵活运用公式。推导出圆柱的体积计算公式V=πr2h后，我再让同桌两人合作测量需要的数据计算圆柱体积。这时又生成了新的知识，学生发现刚刚推导出的公式似乎派不上用场。因为学生不能直接测量到圆柱的底面半径，只能直接测量圆柱的高、底面周长（或直径）。计算圆柱体积时，不能直接利用公式V=πr2h，此时必须灵活运用公式。学生又推导出了圆柱的体积计算公式还有V=π(d÷2）2h；V=π（c÷π÷2）2h。
6.课后引导学生继续发展。课后作业要求学生观察、比较：转化前后的两个图形，什么变了？什么没变？近似长方体与圆柱之间还有哪些关系？
课后反思：
《数学课程标准》在第二学段“空间与图形”知识的内容标准中明确指出：“在教学中，应注重使学生探索现实世界中有关空间与图形的问题；应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换。”在初中(7—9年级)第三学段“空间与图形”知识的内容标准中也明确指出：“在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。”由此可见，《数学课程标准》对小学阶段的培养学生的推理能力提出了明确要求，而且小学阶段培养的推理能力对中学阶段的数学学习有直接的影响，因此，小学数学教师应注重培养学生的推理能力。
1.给学生提供较完整的推理空间，引导学生经历完整的自主推理过程。
北京师范大学周玉仁教授一直倡导：凡是学生能自己探索得出的，决不替代；凡是学生能独立思考的，决不暗示。要为学生多创造一点思考的时间，多一点活动的余地，多一点表现自我的机会，多一点体验成功的愉快。在第一次教学中我在小组合作交流中推导出公式，然后利用板书似乎也引导学生推导出了公式。但是我们提供给学生的是支离破碎的空间。如何引导学生经历完整的推理过程?教学中，我设计了“对两人小组合作的内容提出要求”环节：猜测计算圆柱的体积可能需要哪些条件?转化后的近似长方体与圆柱有哪些相等的关系?如何利用这些相等的关系推导出圆柱的体积公式?在纸上记录观察、发现、推理的内容，记录的内容要能明晰地反映出推理公式的过程。把“发现”与“推理”过程通过同桌两人合作，这就给学生提供了相对完整的推理过程，大部分同桌同学共同完成了一系列的猜测、比较、观察、发现、交流、推导、记录等活动，并推导出圆柱的体积计算公式。学生有了思考的时间、活动的余地、也体偿了成功的喜悦。在这个过程中，教师没有提示、干预学生的思考。实践证明学生有能力自主完成这个推理过程。
2.为学生营造合作推理的氛围，挑选合理的合作伙伴。
合作学习也是《数学课程标准》明确提出的学生学习数学的重要方式。教学中，我采取的是同桌两人合作的形式。因为学生要观察、比较转化后的近似长方体与圆柱(利用学具)，比起4人小组，两人各持一个图形，更利于集中注意力比较、探索与交流，记录发现、推理过程。实践证明，同桌合作也会生成新知，也能培养学生的合作能力。
3.在实际操作中练习，在练习中第二次推理。
在教学中的巩固练习时，我组织学生测量圆柱形状的学具，计算出体积，学生在测量计算时与刚推导出的公式产生了冲突，不能应用V=πr2h求圆柱体积。由于学生已经历了一次完整的推理过程，所以很容易推导出已知圆柱的底面周长(或底面直径)和高，求圆柱的体积的公式。既灵活应用公式，又再次经历了推理过程。实践证明，在教学“空间与图形”知识时，没有必要安排学生机械地套用公式反复训练，经历了完整的推理过程后，学生是可以正确掌握公式并灵活应用公式的。
浙江的斯苗儿老师曾指出：教师假定学生事先对图形的面积、体积公式全然不知，不符合学生的实际。由此我们可以联想到许多类似的推导一些平面图形周长面积公式、立体图形体积公式的课堂。有的学生在课前是知道公式的，推导面积、体积计算公式时，我们有可能是在组织部分学生验证前人的发现。因此我们更有必要引导学生经历发现、推理的过程，而不仅仅停留在转化的层画。转化的过程固然很重要，但发现与推理的过程更是难点。此外还须灵活应用公式，走出机械套用公式的误区，以免学生在已知圆柱的底面周长(或底面直径)和高求体积时束手无策。教师既不能依赖小组合作淡化难点，又不能完全放手让学生盲目地探索。教学中，我对学生的观察发现提出了具体的要求，并没有禁锢学生的思维，学生反而有与教材上不同的动态生成。对学生的活动目标提出明确要求，这也是培养学生有目标地进行科学试验的科研精神，也是如何提高课堂效率的尝试。作为数学教师，我们在体现新理念的同时，更要关注如何让40分钟的课堂实起来，切实为学生知识的学习、能力的培养，为学生的发展在进行教学活动，而无须太多表面的热闹。