论文部分内容阅读
摘 要：谈到数学思想、数学方法以及数学思想方法，这三个名词其实我们都不能够给出明确的界定，只能给出一些具体情形之下的区别，总体来说，数学思想和数学方法之间的联系更加密切，甚至是相互交融的。因为数学思想方法是在数学科学发展的过程中逐渐建立起来的，数学思想是伴随着数学知识体系的发展而建立起来的，它是数学知识体系的升华。而数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识，它的内容是随数学知识内容的改变而改变的，是动态发展的过程。
关键词：数学思想；方法的教学；相互结合
一、 数学思想方法的相关概述
对于学生来说，初中数学学习是学习生涯中数学学习的入门阶段，无论是基础的数学知识还是在这些数学知识背后蕴含的数学思想方法，都是作为现代公民应该具备的基本素质。著名的数学家华罗庚曾说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。”马克思甚至说过，一个国家的科学水平可以用它的消耗的数学来度量。总之，人类社会的发展离不开数学，这不单纯指数学知识的具有广泛的应用性，更是指精妙绝伦的数学思维和科学严谨的数学思想方法，对解决各类现实问题都具有非常重要的意义。同其他学科一样，数学的基本结构包括两部分，一是数学知识结构，二是观念系统，而数学知识结构又包括数学概念、定理、公式、法则，以及它们彼此间的联系；而观念系统则主要指思想方法和思维策略，有机的蕴含在知识概括、法则推导、定理证明等数学活动中，它是以数学知识为载体的。
二、 举例说明如何贯彻数学思想方法的教学
（一） “三有”式渗透和突出介绍有关的数学思想方法
那么在教学中应该怎样作才能够帮助学生更好的掌握数学思想的基本思想方法，从而提高数学思维能力呢？教者可以从数学思想方法构建的三个阶段分别加以侧重去设计教学，分别是潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。在每一个教学环节都争取做到学生为主，教师为辅，让学生成为探究活动的主人，教师成为点拨与引导者。力争做到“有目的、有计划、有步骤”的引导学生理解并掌握数学思想方法。
在进行教学之前，我们首先要明确学生在该学段需要对数学思想方法掌握到什么程度，然后从教学目标、课堂提问、问题情境到教法与学法的选择进行精心设计安排，做到“有目的、有计划、有步骤”的进行数学思想方法引导。由于数学思想方法不同于数学知识，需要在数学知识的教学中反复的体验和实践，最终达到使得个体逐渐认识、理解、并内化在认知结构中。
（二） 举例说明化归思想与初中数学教学的相互结合
化归思想就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题，后者具有确定的解法或者有确定的求解程序，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法。
在我们学会解一元一次不等式（组）后，比如要解不等式x 22x-1<0，观察不等号左边的分式，当分子和分母异号时，这个不等式就成立，因此我们可以把解分式不等式转化为解两个我们熟悉的一元一次不等式组x 2>02x-1<0，或x 2<02x-1>0。这就是化归。
典例剖析：已知m为实数，求分式2mm2 1的取值范围。
分析1：这个分式的变形比较困难，因此要换一种策略。当m=0时，分式的值为0；当m≠0时，可以考虑求这个分式的倒数，倒数的分母是一个单项式，很容易变形。
以上思考策略是把“求分式2mm2 1的取值范围”归结为求其倒数的取值范围，找到新问题和原问题解答的关系；特别需要注意的是把当m<0时求分式的取值范围的问题，通过令n=-m，化归为已经解决的问题，是很好的化归思想应用。
分析2：由于以上讨论的问题比较复杂，能否有更简便的方法呢？我们可以把这个分式看成一个整体，用y表示，这样就形成了一个等式，求y的范围归结为对方程的讨论。这种化归是对方程ym2-2m y=0有实数根的讨论，显然比第一种思路优越。
分析3：注意到分式的分子和分母的和恰好等于两数和的完全平方展开式，我们还可以尝试第三种化归方法。
解：因为2mm2 1 1=（m 1）2m2 1≥0，所以2mm2 1≥-1（m=-1时取等号）；
因为2mm2 1-1=-（m-1）2m2 1≤0，所以2mm2 1≤1（m=1时取等号）；
所以-1≤2mm2 1≤1。
反思：以上三种思路的形成，首先需要我们具有敏锐的观察力，即观察分式2mm2 1的结构特征，思维具有一定的跳跃性，就是说“直觉”在起作用，但是这种直觉思维不是凭空产生的，而是有赖于经验的积累。其次是顺利的化归有赖于我们熟练地掌握方程、不等式的变形以及配方法，特別是运用第一种思路解决问题时，自觉地进行分类讨论，否则化归也是难以实现的。
鉴于数学思想方法在初中数学学习的重要作用，我们作为教师在整个教学活动中一定要注意恰当的渗透数学思想，避免盲目和随意。而作为初中学生，也要积极参与课内探究讨论，无论是数学公式的推理、命题与定理的证明，练习与例题的解答等过程，都不要满足于结果的产生，而要注重享受过程，反思过程中应用的思维策略，敢于提出自己独立的见解，做到课内消化知识，课后内化思想方法。
参考文献：
[1]刘影，程晓亮.数学教学论[M].北京：北京大学出版社，2011，2.
[2]孙厚康.初中数学思想方法引导[M].杭州：浙江大学出版社，2015，6.
作者简介：
高飞飞，吉林省长春市，吉林师范大学；
刘双双，浙江省杭州市，杭州市星澜小学。
关键词：数学思想；方法的教学；相互结合
一、 数学思想方法的相关概述
对于学生来说，初中数学学习是学习生涯中数学学习的入门阶段，无论是基础的数学知识还是在这些数学知识背后蕴含的数学思想方法，都是作为现代公民应该具备的基本素质。著名的数学家华罗庚曾说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。”马克思甚至说过，一个国家的科学水平可以用它的消耗的数学来度量。总之，人类社会的发展离不开数学，这不单纯指数学知识的具有广泛的应用性，更是指精妙绝伦的数学思维和科学严谨的数学思想方法，对解决各类现实问题都具有非常重要的意义。同其他学科一样，数学的基本结构包括两部分，一是数学知识结构，二是观念系统，而数学知识结构又包括数学概念、定理、公式、法则，以及它们彼此间的联系；而观念系统则主要指思想方法和思维策略，有机的蕴含在知识概括、法则推导、定理证明等数学活动中，它是以数学知识为载体的。
二、 举例说明如何贯彻数学思想方法的教学
（一） “三有”式渗透和突出介绍有关的数学思想方法
那么在教学中应该怎样作才能够帮助学生更好的掌握数学思想的基本思想方法，从而提高数学思维能力呢？教者可以从数学思想方法构建的三个阶段分别加以侧重去设计教学，分别是潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。在每一个教学环节都争取做到学生为主，教师为辅，让学生成为探究活动的主人，教师成为点拨与引导者。力争做到“有目的、有计划、有步骤”的引导学生理解并掌握数学思想方法。
在进行教学之前，我们首先要明确学生在该学段需要对数学思想方法掌握到什么程度，然后从教学目标、课堂提问、问题情境到教法与学法的选择进行精心设计安排，做到“有目的、有计划、有步骤”的进行数学思想方法引导。由于数学思想方法不同于数学知识，需要在数学知识的教学中反复的体验和实践，最终达到使得个体逐渐认识、理解、并内化在认知结构中。
（二） 举例说明化归思想与初中数学教学的相互结合
化归思想就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题，后者具有确定的解法或者有确定的求解程序，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法。
在我们学会解一元一次不等式（组）后，比如要解不等式x 22x-1<0，观察不等号左边的分式，当分子和分母异号时，这个不等式就成立，因此我们可以把解分式不等式转化为解两个我们熟悉的一元一次不等式组x 2>02x-1<0，或x 2<02x-1>0。这就是化归。
典例剖析：已知m为实数，求分式2mm2 1的取值范围。
分析1：这个分式的变形比较困难，因此要换一种策略。当m=0时，分式的值为0；当m≠0时，可以考虑求这个分式的倒数，倒数的分母是一个单项式，很容易变形。
以上思考策略是把“求分式2mm2 1的取值范围”归结为求其倒数的取值范围，找到新问题和原问题解答的关系；特别需要注意的是把当m<0时求分式的取值范围的问题，通过令n=-m，化归为已经解决的问题，是很好的化归思想应用。
分析2：由于以上讨论的问题比较复杂，能否有更简便的方法呢？我们可以把这个分式看成一个整体，用y表示，这样就形成了一个等式，求y的范围归结为对方程的讨论。这种化归是对方程ym2-2m y=0有实数根的讨论，显然比第一种思路优越。
分析3：注意到分式的分子和分母的和恰好等于两数和的完全平方展开式，我们还可以尝试第三种化归方法。
解：因为2mm2 1 1=（m 1）2m2 1≥0，所以2mm2 1≥-1（m=-1时取等号）；
因为2mm2 1-1=-（m-1）2m2 1≤0，所以2mm2 1≤1（m=1时取等号）；
所以-1≤2mm2 1≤1。
反思：以上三种思路的形成，首先需要我们具有敏锐的观察力，即观察分式2mm2 1的结构特征，思维具有一定的跳跃性，就是说“直觉”在起作用，但是这种直觉思维不是凭空产生的，而是有赖于经验的积累。其次是顺利的化归有赖于我们熟练地掌握方程、不等式的变形以及配方法，特別是运用第一种思路解决问题时，自觉地进行分类讨论，否则化归也是难以实现的。
鉴于数学思想方法在初中数学学习的重要作用，我们作为教师在整个教学活动中一定要注意恰当的渗透数学思想，避免盲目和随意。而作为初中学生，也要积极参与课内探究讨论，无论是数学公式的推理、命题与定理的证明，练习与例题的解答等过程，都不要满足于结果的产生，而要注重享受过程，反思过程中应用的思维策略，敢于提出自己独立的见解，做到课内消化知识，课后内化思想方法。
参考文献：
[1]刘影，程晓亮.数学教学论[M].北京：北京大学出版社，2011，2.
[2]孙厚康.初中数学思想方法引导[M].杭州：浙江大学出版社，2015，6.
作者简介：
高飞飞，吉林省长春市，吉林师范大学；
刘双双，浙江省杭州市，杭州市星澜小学。