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摘要：从瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法的基本原理出发，对比三者的不同假设，从得出的安全系数数据分析得出结论：三种方法中，毕肖普法得出的稳定性系数最大，瑞典条分法得出的稳定性系数居中，瑞典圆弧法迁出的稳定性系數最小。
关键词：瑞典圆弧法；瑞典条分法；毕肖普法；稳定性系数
中图分类号： U416.1+4 文献标识码： A 文章编号：
1概述
由于边坡内部复杂的结构和岩石物质的不同，使得我们必须采用不同的分析方法来分析其稳定状态。因此边坡是否处于稳定状态，是否需要进行加固与治理的判断依据来源于边坡的稳定性分析数据。
在瑞典圆弧法分析粘性边坡稳定性的基础上，瑞典学者 Fellenius 提出了圆弧条分析法，也称瑞典条分法。Fellenius将土条两侧的条间力的合力近似的看成大小相等、方向相反、作用在同一作用面上，因此提出了不计条间力影响的假设条件。而每一土条两侧的条间力实际上是不平衡的，但经验表明，在边坡稳定性分析中，当土条宽度不大时，忽略条间力的作用对计算结果并没有显著的影响，而且此法应用的时间很长，积累了丰富的工程经验，一般得到的安全系数偏低，即偏于安全，所以目前的工程建设上仍然常用这种方法。
毕肖普(Bishop)在瑞典法基础上提出了——毕肖普法。这一方法仍然保留了滑裂面的形状为圆弧形和通过力矩平衡条件求解的特点，与瑞典条分法相比，毕肖普法是在不考虑条块间切向力的前提下，满足力多边形闭合条件，就是说虽然在公式中水平作用力并未出现，但实际上条块间隐含的有水平力的作用。毕肖普法由于考虑到了条块间水平力的作用，因此得到的安全系数较瑞典条分法略高一些。
本文就极限平衡法中应用较广的瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法在边坡稳定分析中的应用进行比较，得出毕肖普法的稳定性系数更高的结论。
2基本理论
2.1瑞典法
瑞典法使用圆弧滑裂面。
2.1.1对多余未知力的假定
该法不考虑土条两侧的作用力，不满足每一土条的力及力矩的平衡，仅满足整体力矩的平衡。
（1）
式中Fs表示稳定性系数。
Pi 及 Pi + 1是作用于土条两侧的条间力合力。由摩尔—库伦准则 , 滑裂面上的平均抗剪强度为：
（2）
式中 c′ 为有效内聚力；′ 为有效内摩擦角； u 为孔隙压力。
土底切向阻力 T i 为：
（3）
取土底法向力平衡，得：
N i = W i cos αi（4）
因为，得：
（5）
2.2毕肖普法
2.2.1原理
毕肖普法提出的土坡稳定系数的含义是整个滑动面上土的抗剪强度tf与实际产生剪应力T的比，即K＝tf/t，并考虑了各土条侧面间存在着作用力，其原理与方法如下：
假定滑动面是以圆心为O，半径为R的滑弧，从中任取一土条i为分离体，其分离体的周边作用力为：土条重Wi引起的切向力Ti和法向反力Ni，并分别作用于底面中心处；土条侧面作用法向力Ei、Ei+1和切向力Xi、Xi+1。
根据静力平衡条件和极限平衡状态时各土条力对滑动圆心的力矩之和为零等，可得毕肖普法求土坡稳定系数的普遍公式。
毕肖普忽略了条间切向力，即Xi+1－Xi＝0，这样就得到了国内外广泛使用的毕肖普简化式。
由于推导中只忽略了条间切向力，比瑞典条分法更为合理，与更精确的方法相比，可能低估安全系数(2～7)％。
毕肖普简化法使用圆弧滑裂面。
2.2.2对多余未知力的假定
该法考虑了土条两侧条间力的作用，满足整体力矩及每一土条的垂直力的平衡，但不满足每一土条的水平力平衡。
（6）
取每一土条竖直方向力的平衡 , 得：
N i cos αi = W i + Xi – X i+1 – T i sin α i（7）
式中 X i 和 X i + 1为土条条间力竖向分力。
由摩尔—库伦准则及式 Ti , 求得土底总法向力为：
（8）
式中
考虑到各土条对滑裂面圆心的力矩之和应当为零 , 有：
（9）
同时，毕肖普法假定条间力的合力是水平的，则可简化成：
（10）
2.3瑞典条分法
瑞典条分法适用于圆弧形破坏滑动面的边坡稳定性分析。该条分法将滑动土体竖直分成若干个土条，把土条看成是刚体，分别求出作用于各个土条上的力对圆心的滑动力矩，然后由得出土坡的稳定安全系数。
瑞典条分法使用圆弧滑裂面。
不考虑条块间的相互作用。
2.3.1力学分析
滑体任一条块上的作用力有：条块自重；滑面上的抗剪力Ti 和法向力 N i 。
根据土条 i 的静力平衡条件有：(11)
设安全系数为 Fs ，根据库伦强度理论有：
(12)
整个滑动土体对圆心 O 取力矩平衡得：
(13)
将式 式(11) 代入 式(12)后再将式 (12) 代入式 (13) 得如下瑞典条分法计算公式：
(14)
当已知土条 i 在滑动面上的孔隙水应力μi 时，瑞典条分法的公式（14）可改写为如下有效应力进行分析的公式：
(15)
3工程实例
有一1：2的均质坡面，内摩擦角φ=35°，内聚力c=2N，容重γ=1.75，饱和容重γm=1.9，取土条数为20，孔压系数μ分别为0、0.2、0.4、0.6，由瑞典法、条分法和毕肖普法试算稳定性系数。
3．1计算结果
表1 瑞典法、条分法和毕肖普法计算安全系数结果表
3．2结果分析
在计算结果中，毕肖普法计算结果总大于条分法，而条分法总大于瑞典法，反映到H因子式中，即。①在相同的中心角条件下随着孔压的增大三者差异增大。②在相同的孔压条件下随着中心角的增大三者差异也增大。③在相同的孔压条件下，随着中心角的增大瑞典法总体上逐渐减小，条分法和毕肖普法则逐渐增大。④在相同孔压条件下，中心角的改变对瑞典法的影响较毕肖普法大。在相同的中心角条件下，孔压的改变对瑞典法的影响也较毕肖普法大。
4结论
通过工程实例的数据计算得出的安全系数数据可以看出，瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法这三种方法中，毕肖普法的稳定性系数是三者中最高的，而瑞典圆弧法的稳定性系数最低，瑞典条分法居中。
参考文献：
[1] 胡辉、姚磊华、董梅.瑞典圆弧法和毕肖普法评价边坡稳定性的比较[J].路基工程.2007年第6期.110-112页。
[2]张倬元，王士天，王兰生．工程地质分析原理[M]．北京：地质出版社，1993
[3]赵少飞，栾茂田，吕爱钟．土工极限平衡问题的非线形有限元数值分析[J]．岩土力学，2004(25)：121—125．
关键词：瑞典圆弧法；瑞典条分法；毕肖普法；稳定性系数
中图分类号： U416.1+4 文献标识码： A 文章编号：
1概述
由于边坡内部复杂的结构和岩石物质的不同，使得我们必须采用不同的分析方法来分析其稳定状态。因此边坡是否处于稳定状态，是否需要进行加固与治理的判断依据来源于边坡的稳定性分析数据。
在瑞典圆弧法分析粘性边坡稳定性的基础上，瑞典学者 Fellenius 提出了圆弧条分析法，也称瑞典条分法。Fellenius将土条两侧的条间力的合力近似的看成大小相等、方向相反、作用在同一作用面上，因此提出了不计条间力影响的假设条件。而每一土条两侧的条间力实际上是不平衡的，但经验表明，在边坡稳定性分析中，当土条宽度不大时，忽略条间力的作用对计算结果并没有显著的影响，而且此法应用的时间很长，积累了丰富的工程经验，一般得到的安全系数偏低，即偏于安全，所以目前的工程建设上仍然常用这种方法。
毕肖普(Bishop)在瑞典法基础上提出了——毕肖普法。这一方法仍然保留了滑裂面的形状为圆弧形和通过力矩平衡条件求解的特点，与瑞典条分法相比，毕肖普法是在不考虑条块间切向力的前提下，满足力多边形闭合条件，就是说虽然在公式中水平作用力并未出现，但实际上条块间隐含的有水平力的作用。毕肖普法由于考虑到了条块间水平力的作用，因此得到的安全系数较瑞典条分法略高一些。
本文就极限平衡法中应用较广的瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法在边坡稳定分析中的应用进行比较，得出毕肖普法的稳定性系数更高的结论。
2基本理论
2.1瑞典法
瑞典法使用圆弧滑裂面。
2.1.1对多余未知力的假定
该法不考虑土条两侧的作用力，不满足每一土条的力及力矩的平衡，仅满足整体力矩的平衡。
（1）
式中Fs表示稳定性系数。
Pi 及 Pi + 1是作用于土条两侧的条间力合力。由摩尔—库伦准则 , 滑裂面上的平均抗剪强度为：
（2）
式中 c′ 为有效内聚力；′ 为有效内摩擦角； u 为孔隙压力。
土底切向阻力 T i 为：
（3）
取土底法向力平衡，得：
N i = W i cos αi（4）
因为，得：
（5）
2.2毕肖普法
2.2.1原理
毕肖普法提出的土坡稳定系数的含义是整个滑动面上土的抗剪强度tf与实际产生剪应力T的比，即K＝tf/t，并考虑了各土条侧面间存在着作用力，其原理与方法如下：
假定滑动面是以圆心为O，半径为R的滑弧，从中任取一土条i为分离体，其分离体的周边作用力为：土条重Wi引起的切向力Ti和法向反力Ni，并分别作用于底面中心处；土条侧面作用法向力Ei、Ei+1和切向力Xi、Xi+1。
根据静力平衡条件和极限平衡状态时各土条力对滑动圆心的力矩之和为零等，可得毕肖普法求土坡稳定系数的普遍公式。
毕肖普忽略了条间切向力，即Xi+1－Xi＝0，这样就得到了国内外广泛使用的毕肖普简化式。
由于推导中只忽略了条间切向力，比瑞典条分法更为合理，与更精确的方法相比，可能低估安全系数(2～7)％。
毕肖普简化法使用圆弧滑裂面。
2.2.2对多余未知力的假定
该法考虑了土条两侧条间力的作用，满足整体力矩及每一土条的垂直力的平衡，但不满足每一土条的水平力平衡。
（6）
取每一土条竖直方向力的平衡 , 得：
N i cos αi = W i + Xi – X i+1 – T i sin α i（7）
式中 X i 和 X i + 1为土条条间力竖向分力。
由摩尔—库伦准则及式 Ti , 求得土底总法向力为：
（8）
式中
考虑到各土条对滑裂面圆心的力矩之和应当为零 , 有：
（9）
同时，毕肖普法假定条间力的合力是水平的，则可简化成：
（10）
2.3瑞典条分法
瑞典条分法适用于圆弧形破坏滑动面的边坡稳定性分析。该条分法将滑动土体竖直分成若干个土条，把土条看成是刚体，分别求出作用于各个土条上的力对圆心的滑动力矩，然后由得出土坡的稳定安全系数。
瑞典条分法使用圆弧滑裂面。
不考虑条块间的相互作用。
2.3.1力学分析
滑体任一条块上的作用力有：条块自重；滑面上的抗剪力Ti 和法向力 N i 。
根据土条 i 的静力平衡条件有：(11)
设安全系数为 Fs ，根据库伦强度理论有：
(12)
整个滑动土体对圆心 O 取力矩平衡得：
(13)
将式 式(11) 代入 式(12)后再将式 (12) 代入式 (13) 得如下瑞典条分法计算公式：
(14)
当已知土条 i 在滑动面上的孔隙水应力μi 时，瑞典条分法的公式（14）可改写为如下有效应力进行分析的公式：
(15)
3工程实例
有一1：2的均质坡面，内摩擦角φ=35°，内聚力c=2N，容重γ=1.75，饱和容重γm=1.9，取土条数为20，孔压系数μ分别为0、0.2、0.4、0.6，由瑞典法、条分法和毕肖普法试算稳定性系数。
3．1计算结果
表1 瑞典法、条分法和毕肖普法计算安全系数结果表
3．2结果分析
在计算结果中，毕肖普法计算结果总大于条分法，而条分法总大于瑞典法，反映到H因子式中，即。①在相同的中心角条件下随着孔压的增大三者差异增大。②在相同的孔压条件下随着中心角的增大三者差异也增大。③在相同的孔压条件下，随着中心角的增大瑞典法总体上逐渐减小，条分法和毕肖普法则逐渐增大。④在相同孔压条件下，中心角的改变对瑞典法的影响较毕肖普法大。在相同的中心角条件下，孔压的改变对瑞典法的影响也较毕肖普法大。
4结论
通过工程实例的数据计算得出的安全系数数据可以看出，瑞典圆弧法、瑞典条分法和毕肖普法这三种方法中，毕肖普法的稳定性系数是三者中最高的，而瑞典圆弧法的稳定性系数最低，瑞典条分法居中。
参考文献：
[1] 胡辉、姚磊华、董梅.瑞典圆弧法和毕肖普法评价边坡稳定性的比较[J].路基工程.2007年第6期.110-112页。
[2]张倬元，王士天，王兰生．工程地质分析原理[M]．北京：地质出版社，1993
[3]赵少飞，栾茂田，吕爱钟．土工极限平衡问题的非线形有限元数值分析[J]．岩土力学，2004(25)：121—125．