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周期函数的定义表达式：f(x+T)=f(x)(T≠0).在一些函数综合题中，经常会出现与周期有关，但整体上又不是周期函数的问题，这类题目难度都不小.
例1 已知函数f(x)=2－x－a(x≤0)f(x－1)(x>0) ,若方程f(x)=x有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为.
解析：将f(x)=x两边同时加上a，从而转化为g(x)=f(x)+a=2－x(x≤0)g(x－1) 与直线y=x+a有且只有两个不同的交点.如何画出g(x)的图像？首先画出y=2－x(x≤0)的图像.当0 在x∈(0,+∞)上，函数呈现周期性，T=1.但要注意，整个函数并非周期函数.接下来的问题就比较容易解决.将直线y=x+a进行平移，由于点(n,1)与点(n+1,2)的连线的斜率恰好都为1，故当a<2时，两函数的图像恰好恒有两个不同的交点.
点评：上述解析过程中，构造g(x)是一个重要环节——将y=2－x的平移转化为直线y=x的平移.虽然不进行这样的转化也可以解，但两相比较，肯定会赞同此处转化的优越性和必要性.实质上就是“式子两边，适当移项，难度相当”.在椭圆的标准方程推导过程中，将两个根号移一个，再平方，也就是这样的道理.
例2 （盐城市2011届二模试卷第19题）已知函数g(x)满足：①当x∈［0,3)时，g(x)=xx2+4;②g(x+3)=g(x)lnm(m≠1).
（1）求函数g(x)在［3,9)上的解析式；
（2）若函数g(x)在x∈(0,+∞)上的值域为闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由.
分析：（1）联想到课本上一道习题：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+x+1,求f(x)在R上的解析式.关键是将当x<0时转化为-x>0.本题中必须将x∈［3,9)转化到x∈［0,3)；
（2）由g(x+3)=g(x)lnm(m≠1)可知：g(x)=xx2+4,x∈［0,3)的图像每向右平移3个单位，函数值变为原来的lnm倍.
简解：（1）当3≤x<6时，0≤x－3<3,∴g(x－3)=x－3(x－3)2+4,由②得
g(x)=g(x－3)lnm.∴g(x)=x－3(x－3)2+4lnm;
当6≤x<9时，3≤x－3<6,代入上式得，g(x－3)=x－6(x－6)2+4lnm,
∴g(x)=x－6(x－6)2+4ln2m.
综上，g(x)=x－3(x－3)2+4lnm(3≤x<6)x－6(x－6)2+4ln2m(6≤x<9) .
（2）当x∈［0,3)时，利用导数法，容易得到函数在［0,2］上递增，在［2,3)上递减，值域为闭区间［0,14］.如图所示：
当3n≤x<3n+3(n≥0且n∈N)时，有分析（2）可知，函数g(x)=(x-3n)(lnm)n(x-3n)2+4的最值只能在x=3n+2和x=3n处取得,分别为(lnm)n4与0.
①当|lnm|>1时, (lnm)n4→∞.∴g(x)的值域不为闭区间；
②当lnm=1时，g(x)是以3为周期的函数，值域为闭区间［0,14］;
③当lnm=-1时，g(x)是以6为周期的函数,当x∈［3,6)时,值域为［－14,0］.∴g(x)的值域为闭区间［－14,14］;
例1 已知函数f(x)=2－x－a(x≤0)f(x－1)(x>0) ,若方程f(x)=x有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为.
解析：将f(x)=x两边同时加上a，从而转化为g(x)=f(x)+a=2－x(x≤0)g(x－1) 与直线y=x+a有且只有两个不同的交点.如何画出g(x)的图像？首先画出y=2－x(x≤0)的图像.当0
点评：上述解析过程中，构造g(x)是一个重要环节——将y=2－x的平移转化为直线y=x的平移.虽然不进行这样的转化也可以解，但两相比较，肯定会赞同此处转化的优越性和必要性.实质上就是“式子两边，适当移项，难度相当”.在椭圆的标准方程推导过程中，将两个根号移一个，再平方，也就是这样的道理.
例2 （盐城市2011届二模试卷第19题）已知函数g(x)满足：①当x∈［0,3)时，g(x)=xx2+4;②g(x+3)=g(x)lnm(m≠1).
（1）求函数g(x)在［3,9)上的解析式；
（2）若函数g(x)在x∈(0,+∞)上的值域为闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由.
分析：（1）联想到课本上一道习题：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+x+1,求f(x)在R上的解析式.关键是将当x<0时转化为-x>0.本题中必须将x∈［3,9)转化到x∈［0,3)；
（2）由g(x+3)=g(x)lnm(m≠1)可知：g(x)=xx2+4,x∈［0,3)的图像每向右平移3个单位，函数值变为原来的lnm倍.
简解：（1）当3≤x<6时，0≤x－3<3,∴g(x－3)=x－3(x－3)2+4,由②得
g(x)=g(x－3)lnm.∴g(x)=x－3(x－3)2+4lnm;
当6≤x<9时，3≤x－3<6,代入上式得，g(x－3)=x－6(x－6)2+4lnm,
∴g(x)=x－6(x－6)2+4ln2m.
综上，g(x)=x－3(x－3)2+4lnm(3≤x<6)x－6(x－6)2+4ln2m(6≤x<9) .
（2）当x∈［0,3)时，利用导数法，容易得到函数在［0,2］上递增，在［2,3)上递减，值域为闭区间［0,14］.如图所示：
当3n≤x<3n+3(n≥0且n∈N)时，有分析（2）可知，函数g(x)=(x-3n)(lnm)n(x-3n)2+4的最值只能在x=3n+2和x=3n处取得,分别为(lnm)n4与0.
①当|lnm|>1时, (lnm)n4→∞.∴g(x)的值域不为闭区间；
②当lnm=1时，g(x)是以3为周期的函数，值域为闭区间［0,14］;
③当lnm=-1时，g(x)是以6为周期的函数,当x∈［3,6)时,值域为［－14,0］.∴g(x)的值域为闭区间［－14,14］;