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等腰三角形是一种特殊的三角形，除了具备一般三角形的性质外，还具有本身的特殊性质，它在几何中占有重要的位置. 有些同学在解等腰三角形有关问题时，由于受思维定势的影响，经常忽略多解问题，往往出现漏解现象，因此在等腰三角形中，常需要进行分类讨论，现举例如下.
一、忽略角的位置，引发结论不唯一
例１ 已知等腰三角形中有一个角等于５０°，则这个等腰三角形的顶角的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
错解 顶角为８０°
剖析 已知中没有明确该５０°的角为顶角还是底角，所以应分两种情况进行分析．
正解 分两种情况：
若该角为底角，则顶角为１８０° － ２ × ５０° ＝ ８０°；
若该角为顶角，则顶角为５０°．
所以顶角是５０°或８０°．
点评 对于等腰三角形中角的位置没有确定时，要根据等腰三角形的性质分为顶角或底角两种情况进行分类讨论，从而杜绝漏解现象.
二、忽略边的位置，引发结论不唯一
例２ 等腰三角形的两边长为１１ ｃｍ，６ ｃｍ，则它的周长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
错解 １１ ＋ １１ ＋ ６ ＝ ２８ ｃｍ.
剖析 题中没有指明两条边哪个是底边哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而得到正确答案．
正解 分两种情况讨论：①三边是１１，１１，６时，符合三角形的三边关系，此时周长是２８；②当三边是１１，６，６时，也符合三角形的三边关系，此时周长是２３．
点评 对于未明确已知边是底边还是腰的等腰三角形，应先根据等腰三角形两腰相等的性质得出第三边长的两种情况，再根据两边之和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求出周长．
三、忽略周长大小关系，引发结论的不确定性
例3 已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为１８ ｃｍ和２１ ｃｍ的两部分，求等腰三角形三边的长．
错解 如图１，设等腰三角形的腰长为２ｘ，底为ｙ，则有
3x = 18，x + y = 21，解得：x = 6，y = 15.
.
故三角形的三边长为１２，１２，１５．
剖析 此解默认了△ＡＢＤ周长为１８，△ＢＣＤ的周长为２１，即△ＡＢＤ的周长小于△ＢＣＤ的周长，因题中未指明大小关系，故需要进行分类讨论．
正解 （１）当底边大于腰长时，解法同上；
（２）当底边小于腰长时，如图２，设腰长为２ｘ，底为ｙ，则有3x = 21，x + y = 18，解得x = 7，y = 11.
因此三角形的三边长为１２ ｃｍ，１２ ｃｍ，１５ ｃｍ或１４ ｃｍ，１４ ｃｍ，１１ ｃｍ．
点评 对于未指明腰与底边大小关系的，要分情况讨论，同时还要注意考虑三角形三边关系定理，最终得到正确答案. 四、忽略高的位置，引发结论不唯一
例4 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为５５°，求这个等腰三角形顶角的度数.
错解 顶角为３５°.
剖析 三角形的高是由三角形的形状决定的. 对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外.
正解 依题意可画出图3和图4两种情形. 图3中顶角为３５°，图4中顶角为１４５°.
点评 对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外. 求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，注重数形结合思想的应用，这样才能正确解题.
五、忽略点的位置，引发结论的多变性
例5 如图5，l是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨１００ m的Ａ处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长２００ m，设火车的车头为Ｂ点，车尾为Ｃ点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以Ａ，Ｂ，Ｃ三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有＿＿＿＿＿＿＿＿＿个.
错解 ３
剖析 在火车自左向右运动的过程中，车长ＢＣ可以是腰，也可以是底边．点的位置既可以在小明所在位置的左边，也可以在小明所在位置的右边.
正解 如图6，当车长为底时，得到的等腰三角形是△ＡＢＣ；当车长为腰时，得到的等腰三角形是△ＡＢ１Ｃ１，△ＡＢ２Ｃ１，△ＡＢ３Ｃ２，△ＡＣ２Ｂ４．故得到的等腰三角形共有５个．
点评 在实际应用问题中，既要注重应用等腰三角形的性质进行分类讨论，又要依据点的位置变化，数形结合，从而得出正确答案. 所以学生一定要思维严密，不可遗漏．
分类讨论既是一种数学思想方法，也是一种重要的解题方法，在学习过程中，运用分类讨论解题的关键是如何正确、恰当地进行分类，以达到正确解题的目的.
一、忽略角的位置，引发结论不唯一
例１ 已知等腰三角形中有一个角等于５０°，则这个等腰三角形的顶角的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
错解 顶角为８０°
剖析 已知中没有明确该５０°的角为顶角还是底角，所以应分两种情况进行分析．
正解 分两种情况：
若该角为底角，则顶角为１８０° － ２ × ５０° ＝ ８０°；
若该角为顶角，则顶角为５０°．
所以顶角是５０°或８０°．
点评 对于等腰三角形中角的位置没有确定时，要根据等腰三角形的性质分为顶角或底角两种情况进行分类讨论，从而杜绝漏解现象.
二、忽略边的位置，引发结论不唯一
例２ 等腰三角形的两边长为１１ ｃｍ，６ ｃｍ，则它的周长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
错解 １１ ＋ １１ ＋ ６ ＝ ２８ ｃｍ.
剖析 题中没有指明两条边哪个是底边哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而得到正确答案．
正解 分两种情况讨论：①三边是１１，１１，６时，符合三角形的三边关系，此时周长是２８；②当三边是１１，６，６时，也符合三角形的三边关系，此时周长是２３．
点评 对于未明确已知边是底边还是腰的等腰三角形，应先根据等腰三角形两腰相等的性质得出第三边长的两种情况，再根据两边之和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求出周长．
三、忽略周长大小关系，引发结论的不确定性
例3 已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为１８ ｃｍ和２１ ｃｍ的两部分，求等腰三角形三边的长．
错解 如图１，设等腰三角形的腰长为２ｘ，底为ｙ，则有
3x = 18，x + y = 21，解得：x = 6，y = 15.
.
故三角形的三边长为１２，１２，１５．
剖析 此解默认了△ＡＢＤ周长为１８，△ＢＣＤ的周长为２１，即△ＡＢＤ的周长小于△ＢＣＤ的周长，因题中未指明大小关系，故需要进行分类讨论．
正解 （１）当底边大于腰长时，解法同上；
（２）当底边小于腰长时，如图２，设腰长为２ｘ，底为ｙ，则有3x = 21，x + y = 18，解得x = 7，y = 11.
因此三角形的三边长为１２ ｃｍ，１２ ｃｍ，１５ ｃｍ或１４ ｃｍ，１４ ｃｍ，１１ ｃｍ．
点评 对于未指明腰与底边大小关系的，要分情况讨论，同时还要注意考虑三角形三边关系定理，最终得到正确答案. 四、忽略高的位置，引发结论不唯一
例4 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为５５°，求这个等腰三角形顶角的度数.
错解 顶角为３５°.
剖析 三角形的高是由三角形的形状决定的. 对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外.
正解 依题意可画出图3和图4两种情形. 图3中顶角为３５°，图4中顶角为１４５°.
点评 对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外. 求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，注重数形结合思想的应用，这样才能正确解题.
五、忽略点的位置，引发结论的多变性
例5 如图5，l是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨１００ m的Ａ处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长２００ m，设火车的车头为Ｂ点，车尾为Ｃ点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以Ａ，Ｂ，Ｃ三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有＿＿＿＿＿＿＿＿＿个.
错解 ３
剖析 在火车自左向右运动的过程中，车长ＢＣ可以是腰，也可以是底边．点的位置既可以在小明所在位置的左边，也可以在小明所在位置的右边.
正解 如图6，当车长为底时，得到的等腰三角形是△ＡＢＣ；当车长为腰时，得到的等腰三角形是△ＡＢ１Ｃ１，△ＡＢ２Ｃ１，△ＡＢ３Ｃ２，△ＡＣ２Ｂ４．故得到的等腰三角形共有５个．
点评 在实际应用问题中，既要注重应用等腰三角形的性质进行分类讨论，又要依据点的位置变化，数形结合，从而得出正确答案. 所以学生一定要思维严密，不可遗漏．
分类讨论既是一种数学思想方法，也是一种重要的解题方法，在学习过程中，运用分类讨论解题的关键是如何正确、恰当地进行分类，以达到正确解题的目的.