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《义务教育数学课程标准（2011年版）》已经颁布，数学课程的基本理念、目标、内容、教学及评价等方面均进行了相应的变革.数学课程实施的关键在于数学教师，数学教师实施课程内容主要以课堂教学为载体，通过其教学行为予以体现.而教育教学思想、观念及认识影响和制约着课堂教学行为.如果有了新课程，教师却没有科学、合理的教学观念和认识，教学质量也会大打折扣.数学教师需不断深化对数学课程与教学的认识，才能在教学中遵循数学教与学的规律，使教学行为得以优化，课堂品位得以提升.因此“合理认识数学教学”是一个根本的问题，然后才涉及数学教学设计与实施的具体细节.
一、合理认识数学
物理学、化学等科学，它们的研究对象是客观世界的具体运动形态或具体物化形式，因而主要运用实验研究的方法.而数学与这些实验科学相比，它的研究对象是抽象的形式化的思想材料，是用数学的特殊符号语言组织起来的、脱离了具体内容的表示形式的思想材料.数学中虽然也需要实验，如实物实验、模型实验，但数学中更多问题借助实物实验和模型实验已无能为力，须在头脑中进行实验即通过思想实验来进行. 如同底数幂乘法法则、一张纸对折30次估计其高度等，需通过思维活动进行推理论证，因此需深化对数学的认识：数学是思维的科学，数学教学侧重培养学生动脑、培养智慧.数学教学需要借助直观感知和动手操作，但不能停留于直观，而应上升到思维，注重学生数学思维的深层参与.
笔者曾观摩过全国初中数学优质课大赛“确定位置”课题的教学，课堂气氛活跃和热闹. 教师播放了4分多钟的学生军训队列表演录像，然后通过一个例子（3，4），（4，3）告诉学生确定物体的位置需要一组有序数对，之后进入长时间的游戏环节. 即某一位同学说出“第几排第几个”，对应位置的同学起立，并依次类推，全班三分之二的同学都起立过.学生的外在行为积极，但思维活动在同一层次上低水平重复，冲淡了对确定位置方法的理解和感悟. 因此数学课堂教学应避免重外部、表层操作而轻内部、深层思维的现象.学生的主体参与不仅仅是外在行为的参与，更重要的是内在思维的参与和情感参与.数学教师的智慧应是善于搅动学生思维的涟漪，把数学课堂的温度建立在学生数学思维的深度上.
二、合理认识数学学习
与其他学科相比，数学知识之间的衔接性和连贯性更强. 学生已有的数学知识、经验直接影响后继内容的学习，因而数学新知识的学习要建立在学生已有数学知识和经验的基础上.教学设计时，学情分析需要考虑今天学习新内容时，学生头脑中与新知识有内在联系的已有数学知识和经验有哪些，实质上是寻找新知识的生长点.教师重在激活学生头脑中与新知识有实质性联系的经验和知识，通过新旧知识之间的相互作用，启发学生从原有知识经验中自然生长出新的知识和经验，从而使学生产生内在的学习需求.
由于数学的抽象性特点，教师简单告诉数学结论、学生记忆和练题的数学学习，容易使学生陷入机械学习的泥潭，因而数学学习推崇学生进行有意义学习，力求通过学生数学思维活动的发生和发展，促成其数学知识、经验和能力的生长.有意义学习实质上即是新学习的内容与学生认知结构中的适当知识和观念建立自然的、内在的逻辑联系，因此数学学习是在学生已有数学知识、经验基础上的有意义学习.
鉴于此，数学教学中力求避免走极端.极端之一体现为：不考虑学生已有的数学知识和经验简单告诉学习内容.如一元二次方程的公式法课例中，笔者听过11位应聘教师关于此课题的教学. 其中8位教师基本采用如下教学方式：上一节课我们学习了一元二次方程的配方法，今天我们学习另外一种方法——公式法，然后写出一元二次方程的一般形式进行配方.新学习的内容似有天上掉下来之感，虽然提到配方法，但未启发学生与今天新学习的课题建立内在的实质性联系，学生体验不到一元二次方程一般形式配方的必要性，不知为什么要学习公式法，怎么会想到要研究这个问题.由于学生没有经历必要的困惑阶段，没有产生疑难和问题，从而难以形成内在的学习需求，其思维活动自然缺乏主动性和积极性.
极端之二体现为：考虑学生已有的数学知识和经验，但问题情境的创设不自然、不简明，未与数学内容建立内在联系.如前述“确定位置”课题中，教师播放学生军训队列表演的录像，既冗长又和位置的确定缺乏实质性联系，由于每个学生的位置都在变化，一定程度上会干扰重点内容的理解.事实上并非每一个数学内容都要找到其现实原型，数学毕竟不同于生活.在无合适的实际问题情境时，学生认知结构中与新学习内容有自然的、内在的逻辑联系的已有数学知识和观念，本身就是很好的问题情境.
三、合理认识数学教学
1.认识数学教学——数学教学重在启发学生学会数学地思考
在信息时代和学习型社会中，使学生学会学习、学会思考，具有终身学习的潜能已成为教学的育人目标之一.数学教学重在启发学生学会数学地思考，发展有益的思考方式和基本的数学思维习惯.如学习如何发现提出数学问题（课题）、为什么要引入数学新概念、命题和方法？如何获得新概念、命题和方法、如何探寻解决数学问题的方法等.
例如：直线与直线的位置关系的课例片段.
教师：研究直线的位置关系，它的方法是先特殊后一般，最简单的情形是平行，相交直线最特殊的情形是垂直，上节课我研究过了，那你们说我们今天应该研究什么？
教师运用启发性提示语旨在引导学生学习研究问题的方法，如从特殊到一般、从简单到复杂、从无到有，使学生感受科学研究一般方法的熏陶，从而启发学生自己提出要研究的课题.对学生如何从联系的视角学会思考，把握基本的思考方法具有重要的指向作用.
2. 认识数学教学——数学教学力求自然、合乎情理
数学是自然的、数学是清楚的.数学概念、符号、公式、定理、方法等不是天上突然掉下来的，而是由于解决问题的需要自然产生的.如≌，?，?等数学符号的选择与其对应英文单词的首字母有关，自然而有人情味.使学生体味到已有的数学概念、命题、思想方法不够用了，才需要自然引入新概念、新命题和新方法，以此产生内在的学习需求，感悟到数学知识的生长是自然、合乎情理、富有人情味的. 从而使鲜活的数学概念、命题和数学思想方法等在课堂教学中自然而然地流淌出来，这里的自然主要包括：情境创设的自然、课题引入的自然、知识生长的自然、思路和方法获得的自然、教学环节衔接的自然、信息技术运用的自然等. 例如：直线与直线的位置关系的课例片段.
教师：你们说怎样刻画两条直线的位置关系比较好呢？
学生：可以用两直线的夹角来表示.
教师：好，比如说，现在这两条直线AB和AC的夹角是多大呢？度量一下，是28°.（用反例制造认知冲突）
你的意思用这个夹角28°就可以刻画它们的位置关系了，是不是？那我来作直线AB关于AC的轴对称图形，得直线AB′，那么AB，AB′与AC的夹角都是28°，那不就成了不同位置关系的直线用相同的角来表示了吗？怎么才能把它们区分开来呢？大家看，他提出用“夹角”刻画两条相交直线妥当吗？
此时教师用几何画板现场作图构造反例揭示学生思维中的漏洞，使学生认识到“夹角”概念已经不够用了，必须建立一个新概念才能准确刻画两条直线的位置关系，从而把问题内化为学生自己的问题，在头脑中展开激烈的数学思维活动.
3. 认识数学教学——数学教学体现“数学味”并突出数学本质
解决问题的策略、我变胖了、希望工程义演、你今年多少岁等课例中均需师生共同提炼出核心数学知识，避免过分注重生活化，而稀释了数学味.数学课首先要关注数学，关注学生在数学上的进步.俗话说，数学课不仅要有温度，还要有浓度.
当然数学课仅仅体现数学味还不够，同时需要教师启发学生透过现象把握数学对象的本质，避免非本质属性的泛化.因此所选择的例题既要有典型性，还要有代表性和层次性，以此突出数学本质.如一元二次方程的公式法课题，从表面看是公式法定义的学习，实际上教学重点为一元二次方程的求根公式及其推导，并用求根公式解一元二次方程.教学难点为一元二次方程求根公式的推导，属于数学公式的教学及配方法和公式法的运用，并渗透了化归思想和分类讨论思想.其中公式法的定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法，是在得到求根公式后顾名思义加以描述的，并非教学重点.而某县应聘的11位数学教师多数把教学重点局限于教科书中公式法定义的获得，只有两位应聘教师强调了一元二次方程的求根公式及其特征，反映出新教师在突出数学学习内容的本质方面体现得不够.
4.认识数学教学方法——以启发式数学教学思想为指导，多种方法综合运用
教学有法，教无定法，贵在得法，重在启发.《义务教育数学课程标准（2011年版）》把注重启发式、实行启发式教学作为课程的基本理念和实施建议，由此彰显出启发式数学教学的重要性.
启发式数学教学，教师重在创设“愤悱”的数学教学情境. 使学生处于“欲知还未知，欲言还未能”的“愤悱”状态，经历必要的认知和情感的困惑阶段，形成认知冲突、疑难和问题，以此产生内在的学习需求，从而启发学生“想数学”. 在其头脑内部展开激烈的数学思维活动，达到数学思维的深度参与.例如：分数（式）的定义、字母表示数、一元二次方程的公式法等课例中，使学生经历“愤悱”的困惑状态. 体味到整数（式）概念不够用了才需要引入分数（式）；数表示变化的量不够用了才需要引入字母；每一个数字系数的一元二次方程用配方法求解的思路相同，当一次项系数不是2的倍数或数字较大时配方运算较烦琐、用起来不方便，而有的一元二次方程配方后完全平方式为负数，原方程无实数根却花费时间配方，从而体验到配方法的局限性，由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够用了.教师启发学生自然提出问题：能否有更简便和一般的方法求一元二次方程的根？使学生产生寻找一般方法的内在需求.
数学课堂中，同一种教学方法刺激多了，学生的思维容易产生惰性，因此数学教学需要讲授、问答、讨论、发现等多种教学方法的综合运用.《义务教育数学课程标准（2011年版）》在教学建议中倡导启发性讲授，这里的“启发性讲授”与“教师简单告诉、学生记住”不同，需要教师在学生已有知识、经验和思维水平基础上，通过自然的、合乎情理的讲授使学生经历必要的困惑阶段，产生疑难和问题，从而启发学生对已有信息积极主动地进行思维加工，形成知识间自然的、实质性联系，实现有意义学习.
一、合理认识数学
物理学、化学等科学，它们的研究对象是客观世界的具体运动形态或具体物化形式，因而主要运用实验研究的方法.而数学与这些实验科学相比，它的研究对象是抽象的形式化的思想材料，是用数学的特殊符号语言组织起来的、脱离了具体内容的表示形式的思想材料.数学中虽然也需要实验，如实物实验、模型实验，但数学中更多问题借助实物实验和模型实验已无能为力，须在头脑中进行实验即通过思想实验来进行. 如同底数幂乘法法则、一张纸对折30次估计其高度等，需通过思维活动进行推理论证，因此需深化对数学的认识：数学是思维的科学，数学教学侧重培养学生动脑、培养智慧.数学教学需要借助直观感知和动手操作，但不能停留于直观，而应上升到思维，注重学生数学思维的深层参与.
笔者曾观摩过全国初中数学优质课大赛“确定位置”课题的教学，课堂气氛活跃和热闹. 教师播放了4分多钟的学生军训队列表演录像，然后通过一个例子（3，4），（4，3）告诉学生确定物体的位置需要一组有序数对，之后进入长时间的游戏环节. 即某一位同学说出“第几排第几个”，对应位置的同学起立，并依次类推，全班三分之二的同学都起立过.学生的外在行为积极，但思维活动在同一层次上低水平重复，冲淡了对确定位置方法的理解和感悟. 因此数学课堂教学应避免重外部、表层操作而轻内部、深层思维的现象.学生的主体参与不仅仅是外在行为的参与，更重要的是内在思维的参与和情感参与.数学教师的智慧应是善于搅动学生思维的涟漪，把数学课堂的温度建立在学生数学思维的深度上.
二、合理认识数学学习
与其他学科相比，数学知识之间的衔接性和连贯性更强. 学生已有的数学知识、经验直接影响后继内容的学习，因而数学新知识的学习要建立在学生已有数学知识和经验的基础上.教学设计时，学情分析需要考虑今天学习新内容时，学生头脑中与新知识有内在联系的已有数学知识和经验有哪些，实质上是寻找新知识的生长点.教师重在激活学生头脑中与新知识有实质性联系的经验和知识，通过新旧知识之间的相互作用，启发学生从原有知识经验中自然生长出新的知识和经验，从而使学生产生内在的学习需求.
由于数学的抽象性特点，教师简单告诉数学结论、学生记忆和练题的数学学习，容易使学生陷入机械学习的泥潭，因而数学学习推崇学生进行有意义学习，力求通过学生数学思维活动的发生和发展，促成其数学知识、经验和能力的生长.有意义学习实质上即是新学习的内容与学生认知结构中的适当知识和观念建立自然的、内在的逻辑联系，因此数学学习是在学生已有数学知识、经验基础上的有意义学习.
鉴于此，数学教学中力求避免走极端.极端之一体现为：不考虑学生已有的数学知识和经验简单告诉学习内容.如一元二次方程的公式法课例中，笔者听过11位应聘教师关于此课题的教学. 其中8位教师基本采用如下教学方式：上一节课我们学习了一元二次方程的配方法，今天我们学习另外一种方法——公式法，然后写出一元二次方程的一般形式进行配方.新学习的内容似有天上掉下来之感，虽然提到配方法，但未启发学生与今天新学习的课题建立内在的实质性联系，学生体验不到一元二次方程一般形式配方的必要性，不知为什么要学习公式法，怎么会想到要研究这个问题.由于学生没有经历必要的困惑阶段，没有产生疑难和问题，从而难以形成内在的学习需求，其思维活动自然缺乏主动性和积极性.
极端之二体现为：考虑学生已有的数学知识和经验，但问题情境的创设不自然、不简明，未与数学内容建立内在联系.如前述“确定位置”课题中，教师播放学生军训队列表演的录像，既冗长又和位置的确定缺乏实质性联系，由于每个学生的位置都在变化，一定程度上会干扰重点内容的理解.事实上并非每一个数学内容都要找到其现实原型，数学毕竟不同于生活.在无合适的实际问题情境时，学生认知结构中与新学习内容有自然的、内在的逻辑联系的已有数学知识和观念，本身就是很好的问题情境.
三、合理认识数学教学
1.认识数学教学——数学教学重在启发学生学会数学地思考
在信息时代和学习型社会中，使学生学会学习、学会思考，具有终身学习的潜能已成为教学的育人目标之一.数学教学重在启发学生学会数学地思考，发展有益的思考方式和基本的数学思维习惯.如学习如何发现提出数学问题（课题）、为什么要引入数学新概念、命题和方法？如何获得新概念、命题和方法、如何探寻解决数学问题的方法等.
例如：直线与直线的位置关系的课例片段.
教师：研究直线的位置关系，它的方法是先特殊后一般，最简单的情形是平行，相交直线最特殊的情形是垂直，上节课我研究过了，那你们说我们今天应该研究什么？
教师运用启发性提示语旨在引导学生学习研究问题的方法，如从特殊到一般、从简单到复杂、从无到有，使学生感受科学研究一般方法的熏陶，从而启发学生自己提出要研究的课题.对学生如何从联系的视角学会思考，把握基本的思考方法具有重要的指向作用.
2. 认识数学教学——数学教学力求自然、合乎情理
数学是自然的、数学是清楚的.数学概念、符号、公式、定理、方法等不是天上突然掉下来的，而是由于解决问题的需要自然产生的.如≌，?，?等数学符号的选择与其对应英文单词的首字母有关，自然而有人情味.使学生体味到已有的数学概念、命题、思想方法不够用了，才需要自然引入新概念、新命题和新方法，以此产生内在的学习需求，感悟到数学知识的生长是自然、合乎情理、富有人情味的. 从而使鲜活的数学概念、命题和数学思想方法等在课堂教学中自然而然地流淌出来，这里的自然主要包括：情境创设的自然、课题引入的自然、知识生长的自然、思路和方法获得的自然、教学环节衔接的自然、信息技术运用的自然等. 例如：直线与直线的位置关系的课例片段.
教师：你们说怎样刻画两条直线的位置关系比较好呢？
学生：可以用两直线的夹角来表示.
教师：好，比如说，现在这两条直线AB和AC的夹角是多大呢？度量一下，是28°.（用反例制造认知冲突）
你的意思用这个夹角28°就可以刻画它们的位置关系了，是不是？那我来作直线AB关于AC的轴对称图形，得直线AB′，那么AB，AB′与AC的夹角都是28°，那不就成了不同位置关系的直线用相同的角来表示了吗？怎么才能把它们区分开来呢？大家看，他提出用“夹角”刻画两条相交直线妥当吗？
此时教师用几何画板现场作图构造反例揭示学生思维中的漏洞，使学生认识到“夹角”概念已经不够用了，必须建立一个新概念才能准确刻画两条直线的位置关系，从而把问题内化为学生自己的问题，在头脑中展开激烈的数学思维活动.
3. 认识数学教学——数学教学体现“数学味”并突出数学本质
解决问题的策略、我变胖了、希望工程义演、你今年多少岁等课例中均需师生共同提炼出核心数学知识，避免过分注重生活化，而稀释了数学味.数学课首先要关注数学，关注学生在数学上的进步.俗话说，数学课不仅要有温度，还要有浓度.
当然数学课仅仅体现数学味还不够，同时需要教师启发学生透过现象把握数学对象的本质，避免非本质属性的泛化.因此所选择的例题既要有典型性，还要有代表性和层次性，以此突出数学本质.如一元二次方程的公式法课题，从表面看是公式法定义的学习，实际上教学重点为一元二次方程的求根公式及其推导，并用求根公式解一元二次方程.教学难点为一元二次方程求根公式的推导，属于数学公式的教学及配方法和公式法的运用，并渗透了化归思想和分类讨论思想.其中公式法的定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法，是在得到求根公式后顾名思义加以描述的，并非教学重点.而某县应聘的11位数学教师多数把教学重点局限于教科书中公式法定义的获得，只有两位应聘教师强调了一元二次方程的求根公式及其特征，反映出新教师在突出数学学习内容的本质方面体现得不够.
4.认识数学教学方法——以启发式数学教学思想为指导，多种方法综合运用
教学有法，教无定法，贵在得法，重在启发.《义务教育数学课程标准（2011年版）》把注重启发式、实行启发式教学作为课程的基本理念和实施建议，由此彰显出启发式数学教学的重要性.
启发式数学教学，教师重在创设“愤悱”的数学教学情境. 使学生处于“欲知还未知，欲言还未能”的“愤悱”状态，经历必要的认知和情感的困惑阶段，形成认知冲突、疑难和问题，以此产生内在的学习需求，从而启发学生“想数学”. 在其头脑内部展开激烈的数学思维活动，达到数学思维的深度参与.例如：分数（式）的定义、字母表示数、一元二次方程的公式法等课例中，使学生经历“愤悱”的困惑状态. 体味到整数（式）概念不够用了才需要引入分数（式）；数表示变化的量不够用了才需要引入字母；每一个数字系数的一元二次方程用配方法求解的思路相同，当一次项系数不是2的倍数或数字较大时配方运算较烦琐、用起来不方便，而有的一元二次方程配方后完全平方式为负数，原方程无实数根却花费时间配方，从而体验到配方法的局限性，由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够用了.教师启发学生自然提出问题：能否有更简便和一般的方法求一元二次方程的根？使学生产生寻找一般方法的内在需求.
数学课堂中，同一种教学方法刺激多了，学生的思维容易产生惰性，因此数学教学需要讲授、问答、讨论、发现等多种教学方法的综合运用.《义务教育数学课程标准（2011年版）》在教学建议中倡导启发性讲授，这里的“启发性讲授”与“教师简单告诉、学生记住”不同，需要教师在学生已有知识、经验和思维水平基础上，通过自然的、合乎情理的讲授使学生经历必要的困惑阶段，产生疑难和问题，从而启发学生对已有信息积极主动地进行思维加工，形成知识间自然的、实质性联系，实现有意义学习.