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【摘 要】点或曲线关于某个点的对称问题，都可以转化为点关于点的对称问题。点或曲线关于某条直线的对称问题，都可以转化为点关于某条直线的对称问题。只要掌握好了点关于点的对称问题及点关于直线的对称问题，所有的对称问题均容易掌握。
【关键词】对称 点 曲线
对称问题是高中数学中的典型问题，主要有两类：一是点或曲线关于某个点的对称问题（即中心对称问题）；二是点或曲线关于某条直线的对称问题（即轴对称问题）。下面通过几个例子加以说明。
一、点或曲线关于某个点的对称问题
例１．（１）求点Ａ（ａ，ｂ）关于点 （０，０）（Ｍ（ｍ，ｎ）） 的对称点Ａ＇的坐标。
于某个点的对称问题，可以转化为点关于点的对称问题。
二、点或曲线关于某条直线的对称问题（即轴对称问题）。
例２．（１）求点Ａ（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴的对称点Ａ＇、Ａ＇＇的坐标。
（２）求点Ａ（ａ，ｂ）关于ｙ＝ｘ（ｙ＝－ｘ＋１）的对称点Ａ＇的坐标。
解：（１）通过作图容易得到Ａ＇的坐标为（ａ，－ｂ），Ａ＇＇的坐标为（－ａ，ｂ）。
（２）方法一：设点Ａ（ａ，ｂ）关于ｙ＝ｘ的对称点Ａ＇的坐标为（ｍ，ｎ）。
由（１）、（２）联立方程组，解得ｍ＝ｂ，ｎ＝ａ。
同理可求得点Ａ（ａ，ｂ）关于直线ｙ＝－ｘ＋１的对称点的坐标为（１－ｂ，１－ａ）。
方法二：由于对称轴ｙ＝ｘ与 ｙ＝－ｘ＋１的斜率为１或－１，所以Ａ＇的坐标可直接利用代换法求得。
例３．（１）求直线ｘ－２ｙ－１＝０关于ｘ＋ｙ－１＝０的对称直线的方程。
（２）求曲线（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１关于直线ｙ＝３ｘ－１对称的曲线的方程。
（３）已知?荭ＡＢＣ的顶点Ａ（３，－１）．∠Ｂ、∠Ｃ的平分线所在的直线方程分别为ｘ＝０和ｙ＝ｘ。求ＢＣ边所在的直线方程。
解：（１）设需求的直线为Ｌ。
解方程组ｘ－２ｙ－１＝０ｘ＋ｙ－１＝０可得两直线的交点Ｐ的坐标为（１，０），则Ｌ一定过点Ｐ。
在ｘ－２ｙ－１＝０上任取一点Ｍ（３，１）， 可求得点Ｍ关于ｘ＋ｙ－１＝０的对称点Ｍ＇的坐标为（０，－２）。
易知点Ｍ＇也在Ｌ上。
∵点Ｐ、Ｍ＇都在Ｌ上，由两点式得Ｌ的方程为ｘ－ｙ－２＝０。另外，还可以利用到角公式求得Ｌ的斜率，从而求出Ｌ的方程。
（２）方法一：设曲线（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１关于直线ｙ＝３ｘ－１对称的曲线为ｃ＇。
在ｃ＇上任取一点Ｍ（ｘ，ｙ），可求出点Ｍ关于直线ｙ＝３ｘ－１对称点Ｍ＇的坐标为∵Ｍ＇一定在曲线（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１上，从而得曲线（上接第３８页）
ｃ＇的方程为５ｘ２＋５ｙ２＋４ｘ－１８ｙ＋１２＝０。
方法二：∵曲线（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１是一个圆
∴它的对称图形ｃ＇必定是与之全等的圆。
∵（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１的圆心Ｃ的坐标为（２，１），半径ｒ＝１。可求得点Ｃ关于直线ｙ＝３ｘ－１对称点ｃ＇的坐标为（曲线ｃ＇的半径人亦为ｒ＝１，从而ｃ＇的方程为２＝１。
（３）∵直线ｘ＝０是∠ＣＢＡ 的平分线
∴点Ａ关于直线ｘ＝０的对称点Ａ１应在直线ＢＣ上。易求得Ａ１的坐标为（－３，－１）。
同理 ∵ｙ＝ｘ是∠ＢＣＡ的平分线，
∴点Ａ关于直线ｙ＝ｘ对称点Ａ２也应在直线ＢＣ上， 易求得Ａ２的坐标为（－１，３）。
∵点Ａ１、Ａ２均在直线ＢＣ上，由两点式求得直线ＢＣ方程为２ｘ－ｙ＋５＝０。
由例３可以看出，曲线关于某条直线的对称问题，实际上可以转化为点关于某条直线的对称问题。
（湖南邵阳市第三中学；４２２０００）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】对称 点 曲线
对称问题是高中数学中的典型问题，主要有两类：一是点或曲线关于某个点的对称问题（即中心对称问题）；二是点或曲线关于某条直线的对称问题（即轴对称问题）。下面通过几个例子加以说明。
一、点或曲线关于某个点的对称问题
例１．（１）求点Ａ（ａ，ｂ）关于点 （０，０）（Ｍ（ｍ，ｎ）） 的对称点Ａ＇的坐标。
于某个点的对称问题，可以转化为点关于点的对称问题。
二、点或曲线关于某条直线的对称问题（即轴对称问题）。
例２．（１）求点Ａ（ａ，ｂ）关于ｘ轴、ｙ轴的对称点Ａ＇、Ａ＇＇的坐标。
（２）求点Ａ（ａ，ｂ）关于ｙ＝ｘ（ｙ＝－ｘ＋１）的对称点Ａ＇的坐标。
解：（１）通过作图容易得到Ａ＇的坐标为（ａ，－ｂ），Ａ＇＇的坐标为（－ａ，ｂ）。
（２）方法一：设点Ａ（ａ，ｂ）关于ｙ＝ｘ的对称点Ａ＇的坐标为（ｍ，ｎ）。
由（１）、（２）联立方程组，解得ｍ＝ｂ，ｎ＝ａ。
同理可求得点Ａ（ａ，ｂ）关于直线ｙ＝－ｘ＋１的对称点的坐标为（１－ｂ，１－ａ）。
方法二：由于对称轴ｙ＝ｘ与 ｙ＝－ｘ＋１的斜率为１或－１，所以Ａ＇的坐标可直接利用代换法求得。
例３．（１）求直线ｘ－２ｙ－１＝０关于ｘ＋ｙ－１＝０的对称直线的方程。
（２）求曲线（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１关于直线ｙ＝３ｘ－１对称的曲线的方程。
（３）已知?荭ＡＢＣ的顶点Ａ（３，－１）．∠Ｂ、∠Ｃ的平分线所在的直线方程分别为ｘ＝０和ｙ＝ｘ。求ＢＣ边所在的直线方程。
解：（１）设需求的直线为Ｌ。
解方程组ｘ－２ｙ－１＝０ｘ＋ｙ－１＝０可得两直线的交点Ｐ的坐标为（１，０），则Ｌ一定过点Ｐ。
在ｘ－２ｙ－１＝０上任取一点Ｍ（３，１）， 可求得点Ｍ关于ｘ＋ｙ－１＝０的对称点Ｍ＇的坐标为（０，－２）。
易知点Ｍ＇也在Ｌ上。
∵点Ｐ、Ｍ＇都在Ｌ上，由两点式得Ｌ的方程为ｘ－ｙ－２＝０。另外，还可以利用到角公式求得Ｌ的斜率，从而求出Ｌ的方程。
（２）方法一：设曲线（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１关于直线ｙ＝３ｘ－１对称的曲线为ｃ＇。
在ｃ＇上任取一点Ｍ（ｘ，ｙ），可求出点Ｍ关于直线ｙ＝３ｘ－１对称点Ｍ＇的坐标为∵Ｍ＇一定在曲线（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１上，从而得曲线（上接第３８页）
ｃ＇的方程为５ｘ２＋５ｙ２＋４ｘ－１８ｙ＋１２＝０。
方法二：∵曲线（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１是一个圆
∴它的对称图形ｃ＇必定是与之全等的圆。
∵（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１的圆心Ｃ的坐标为（２，１），半径ｒ＝１。可求得点Ｃ关于直线ｙ＝３ｘ－１对称点ｃ＇的坐标为（曲线ｃ＇的半径人亦为ｒ＝１，从而ｃ＇的方程为２＝１。
（３）∵直线ｘ＝０是∠ＣＢＡ 的平分线
∴点Ａ关于直线ｘ＝０的对称点Ａ１应在直线ＢＣ上。易求得Ａ１的坐标为（－３，－１）。
同理 ∵ｙ＝ｘ是∠ＢＣＡ的平分线，
∴点Ａ关于直线ｙ＝ｘ对称点Ａ２也应在直线ＢＣ上， 易求得Ａ２的坐标为（－１，３）。
∵点Ａ１、Ａ２均在直线ＢＣ上，由两点式求得直线ＢＣ方程为２ｘ－ｙ＋５＝０。
由例３可以看出，曲线关于某条直线的对称问题，实际上可以转化为点关于某条直线的对称问题。
（湖南邵阳市第三中学；４２２０００）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文