摘 要: 本文分别探讨了利用函数的单调性、函数的凹凸性、微分中值定理、函数的最值来证明不等式的方法。
　　关键词: 微积分 不等式 应用
　　
　　不等式的证明在数学学习中既是一个重点也是一个难点,方法也很多,我在此提出了以微分法求证不等式的几种方法,其在实际应用中具有较高的价值。
　　一、利用函数的单调性证明不等式
　　若f(x)在区间(a,b)上的导数保持符号不变,则可确定f(x)的单调性。定理如下:
　　设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。如果在(a,b)内f′(x)>0内,则f(x)在[a,b]上单调递增;如果在(a,b)内f′(x)<0内,则f(x)在[a,b]上单调递减。
　　例1.证明:当x>0时,ln(x 1)>x-。
　　证明:设f(x)=ln(x 1)-x ,则f(x)在[0, ∞]上连续。当x>0时,有f′(x)=-1 x=>0,所以f(x)在[0, ∞]上严格单增。故当x>0时,f(x)>f(0)=0,即ln(x 1)>x-(证毕。)
　　利用函数的单调性来证明不等式的关键是第一步构造函数f(x),第二步利用定理判断出所构造的函数的单调性,然后得出f(x)>0或f(x)<0,从而证明出不等式。读者可以类似证明下列不等式:
　　①x≥ln(1 x)(x≥0),②lnx>(x>1)。
　　二、利用函数的凹凸性证明不等式
　　f(x)的二阶导数的符号保持不变,这可确定f(x)的凹凸性。定理如下:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,若f″(x)>0或(f″(x)<0),则曲线y=f(x)在[a,b]上为凹(或凸)。
　　例2.证明:当0x。
　　证明:设f(x)=sinx-x,
　　则f′(x)=cosx-,f″(x)=-sinx。
　　因为当00,即sinx>x。
　　利用曲线的凹凸性证明不等式关键是先构造出函数f(x),在判断出在区间(a,b)上f″(x)的符号,从而得出曲线的凹凸性,并参考f(a),f(b)的值,即可以证明出不等式。
　　三、利用微分中值定理证明不等式
　　主要利用拉格朗日中值定理来证明不等式,定理如下:
　　设函数f(x)于闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导,则必有ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=。
　　例3.证明不等式|arctanx-arctany|≤|x-y|。
　　证明:设f(t)=arctant,t∈(x,y),假设x　　因为f(t)=arctant在[x,y]上连续,开区间(x,y)内可导,由拉格朗日中值定理得:
　　=,ξ∈(x,y),
　　而||≤1,故≤1。
　　即|arctanx-arctany|≤|x-y|。(证毕。)
　　利用微分中值定理证明不等式的关键是先构造出函数f(x),并确定出函数所在的区间。这两项确定准确了再利用拉格朗日中值定理就可以证明出不等式。
　　读者还可以类似证明如下不等式:①e>ex(x>1),②ln(1 x)0)。
　　四、利用函数的极值证明不等式
　　当给定的不等式是具体的函数,该函数是连续函数,且又给出的自变量的变化范围为闭区间,欲证明它大于等于或小于等于某个定数,这时利用最值证明比较简单。
　　例4.设0≤x≤1,p>1,证明不等式≤x (1-x)≤1。
　　证明:设f(x)=x (1-x),则f′(x)=px-p(1-x)。由f′(x)=0,得唯一的驻点x=。由f()=,f(0)=f(1)=1,知f(x)在[0,1]上的最大值为1,最小值为,因此有≤x (1-x)≤1。
　　读者还可以类似证明不等式:设x>0,0<α<1,证明x-αx≤1-α。
　　
　　参考文献:
　　[1]刘早清.高等数学.武汉:高等教育出版社,2008.
　　[2]南文胜.大学应用数学.上海:同济大学出版社,2008.