论文部分内容阅读
近日拜读《中学数学杂志》（初中）2013年第8期王宁老师的文章“三角形内接多边形的作法探讨”一文（下称文[1]），有许多启发.同时笔者继续对三角形的内接正方形问题进行了深入研究，发现文[1]中的结论3（对于任意三角形，一般情况下可以作出3个内接正方形）还需要完善.现撰文商榷如下，请同行赐教.
1什么样的三角形可以作出3个内接正方形？
文[1]认为，对于任意三角形，一般情况下可以作出3个内接正方形.事实上三角形的内接正方形的个数取决于三角形的形状.
（1）当三角形是直角三角形时，可以作出2个符合条件的内接正方形.
如图1，在△ABC中，∠BAC为直角，在AB边上适当的位置取点D，作DE⊥BC于E，再以DE为边在三角形内部作正方形DEFG，此时点F在BC上，连接BG并延长交AC于点H，作IH∥BC交AB于点I，作IJ∥DE交BC于点J，再作HK∥IJ交BC于点K，这样得到的四边形HIJK即为满足条件的第一个内接正方形.
理由如下：通过作图和四边形DEFG是正方形易证明四边形HIJK是矩形.因为△DBG∽△IBH，所以DG1HI=BG1BH.同样地，由△BGF∽△BHK得GF1HK=BG1BH.所以GF1HK=DG1HI，又因为DG=GF，所以HI=HK，因此四边形HIJK是正方形.
图1图2如图2，我们也可以作出两条边在直角边上的第二个内接正方形.
所以对于直角三角形，存在2个大小不同的内接正方形.
（2）当三角形是钝角三角形时，只能作出一个三角形的内接正方形.
如图3，类似上述作法，我们可以作出一个一条边落在钝角三角形最大边上的内接正方形.如图4，当正方形的一条边落在AC上时，按以上作法过AB上一点画AC的垂线时，垂足将落在线段CA延长线上，此时得到的正方形不是三角形的内接正方形.因此，钝角三角形中只存在1个内接正方形.
图3图4（3）如图5-7，当三角形是不等边锐角三角形时，分别让正方形的一边落在不同的边上，利用位似放大的方法我们可以作出3个大小不同的内接正方形.
图5图6图7通过以上的分析，笔者认为，应将文[1]的结论修正为：在钝角三角形中存在1个内接正方形，在直角三角形中存在2个内接正方形，在不等边锐角三角形中存在3个大小不同的内接正方形.
2不等边锐角三角形的3个内接正方形中哪一个最大？
从以上分析可知，不等边锐角三角形存在3个内接正方形，而且这3个正方形的大小不同，那么这3个正方形中哪一个是面积最大的正方形呢？
图8如图8，已知△ABC，不妨假设a 同理，分别落在a，b边上的内接正方形的边长是la=2S1a+2S1a，lb=2S1b+2S1b.
下面比较la，lb，lc的大小.
lb-la=2S1b+2S1b-2S1a+2S1a
=2S·（a-b）+（2S1a-2S1b）1（b+2S1b）（a+2S1a）
=2S1（b+2S1b）（a+2S1a）（a-b）（1-2S1ab）.
因为S=112absin∠ACB，所以2S1ab=sin∠ACB，而00.
又因为a 通过计算我们发现，这3个内接正方形中，有一条边落在原三角形最短边a上的这个正方形边长最大，因此面积最大.
3三角形的内接正方形还有其他作法吗？
文[1]介绍了“以退为进”作三角形的内接正方形：先构造一个满足局部条件的小正方形，然后利用位似放大后得到.笔者在深入研究这个问题后发现：既然放大可以构造正方形，那么是否缩小也可以类似构造正方形呢？研究发现确实可以先构造一个满足局部条件的较大正方形然后再利用位似进行缩小构造内接正方形.以锐角三角形为例说明如下：
如图9，要作一个有一边在AC边上的内接正方形，以AC为边长作正方形ADEC，然后从AC边的对角顶点B作BF∥AD交AC边于点F，连结DF交边AB于点G，过点G作GH∥AC交BC于点H，最后分别过点G、H作AD的平行线交边AC于点J、I，则得到的正方形GHIJ即为所求内接正方形.
图9图10理由如下：通过作图和四边形ADEC是正方形易证明四边形GHIJ是矩形，又因为△FGJ∽△FDA，所以GJ1AD=FG1FD.同理，由△BGH∽△BCA，得GH1AC=BG1AB.因为△BGF∽△AGD，所以BG1AB=FG1FD，等量代换可得GJ1AD=GH1AC.又因为AD=AC，所以GJ=GH，所以可得四边形GHIJ是正方形.
事实上，这种通过位似缩小来构造的方法，与前面放大构造的区别在于位似中心不再是原三角形的顶点，而是以过顶点作平行线与对边相交的点为位似中心.类似地，如图10，我们也可以利用位似缩小的方法构造长、宽符合一定比例要求的三角形的内接矩形.
参考文献
[1]王宁.三角形内接多边形的作法探讨[J].中学数学杂志，2013（8）：37-38.
作者简介杜斌，男，1979年生，浙江宁波人，中学一级教师，有多篇文章在省、市级获奖.
1什么样的三角形可以作出3个内接正方形？
文[1]认为，对于任意三角形，一般情况下可以作出3个内接正方形.事实上三角形的内接正方形的个数取决于三角形的形状.
（1）当三角形是直角三角形时，可以作出2个符合条件的内接正方形.
如图1，在△ABC中，∠BAC为直角，在AB边上适当的位置取点D，作DE⊥BC于E，再以DE为边在三角形内部作正方形DEFG，此时点F在BC上，连接BG并延长交AC于点H，作IH∥BC交AB于点I，作IJ∥DE交BC于点J，再作HK∥IJ交BC于点K，这样得到的四边形HIJK即为满足条件的第一个内接正方形.
理由如下：通过作图和四边形DEFG是正方形易证明四边形HIJK是矩形.因为△DBG∽△IBH，所以DG1HI=BG1BH.同样地，由△BGF∽△BHK得GF1HK=BG1BH.所以GF1HK=DG1HI，又因为DG=GF，所以HI=HK，因此四边形HIJK是正方形.
图1图2如图2，我们也可以作出两条边在直角边上的第二个内接正方形.
所以对于直角三角形，存在2个大小不同的内接正方形.
（2）当三角形是钝角三角形时，只能作出一个三角形的内接正方形.
如图3，类似上述作法，我们可以作出一个一条边落在钝角三角形最大边上的内接正方形.如图4，当正方形的一条边落在AC上时，按以上作法过AB上一点画AC的垂线时，垂足将落在线段CA延长线上，此时得到的正方形不是三角形的内接正方形.因此，钝角三角形中只存在1个内接正方形.
图3图4（3）如图5-7，当三角形是不等边锐角三角形时，分别让正方形的一边落在不同的边上，利用位似放大的方法我们可以作出3个大小不同的内接正方形.
图5图6图7通过以上的分析，笔者认为，应将文[1]的结论修正为：在钝角三角形中存在1个内接正方形，在直角三角形中存在2个内接正方形，在不等边锐角三角形中存在3个大小不同的内接正方形.
2不等边锐角三角形的3个内接正方形中哪一个最大？
从以上分析可知，不等边锐角三角形存在3个内接正方形，而且这3个正方形的大小不同，那么这3个正方形中哪一个是面积最大的正方形呢？
图8如图8，已知△ABC，不妨假设a
下面比较la，lb，lc的大小.
lb-la=2S1b+2S1b-2S1a+2S1a
=2S·（a-b）+（2S1a-2S1b）1（b+2S1b）（a+2S1a）
=2S1（b+2S1b）（a+2S1a）（a-b）（1-2S1ab）.
因为S=112absin∠ACB，所以2S1ab=sin∠ACB，而0
又因为a
3三角形的内接正方形还有其他作法吗？
文[1]介绍了“以退为进”作三角形的内接正方形：先构造一个满足局部条件的小正方形，然后利用位似放大后得到.笔者在深入研究这个问题后发现：既然放大可以构造正方形，那么是否缩小也可以类似构造正方形呢？研究发现确实可以先构造一个满足局部条件的较大正方形然后再利用位似进行缩小构造内接正方形.以锐角三角形为例说明如下：
如图9，要作一个有一边在AC边上的内接正方形，以AC为边长作正方形ADEC，然后从AC边的对角顶点B作BF∥AD交AC边于点F，连结DF交边AB于点G，过点G作GH∥AC交BC于点H，最后分别过点G、H作AD的平行线交边AC于点J、I，则得到的正方形GHIJ即为所求内接正方形.
图9图10理由如下：通过作图和四边形ADEC是正方形易证明四边形GHIJ是矩形，又因为△FGJ∽△FDA，所以GJ1AD=FG1FD.同理，由△BGH∽△BCA，得GH1AC=BG1AB.因为△BGF∽△AGD，所以BG1AB=FG1FD，等量代换可得GJ1AD=GH1AC.又因为AD=AC，所以GJ=GH，所以可得四边形GHIJ是正方形.
事实上，这种通过位似缩小来构造的方法，与前面放大构造的区别在于位似中心不再是原三角形的顶点，而是以过顶点作平行线与对边相交的点为位似中心.类似地，如图10，我们也可以利用位似缩小的方法构造长、宽符合一定比例要求的三角形的内接矩形.
参考文献
[1]王宁.三角形内接多边形的作法探讨[J].中学数学杂志，2013（8）：37-38.
作者简介杜斌，男，1979年生，浙江宁波人，中学一级教师，有多篇文章在省、市级获奖.