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函数是高考数学中非常重要的一部分，是高中数学中的“重”中之“重”。抽象函数是函数中考核要求较高、难度较大的内容。从2000年开始，不论是全国卷还是地方卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。那么，为什么抽象函数在高考中被如此重视？笔者认为高考中加大对学生理性思维能力的考查以及主体创新能力的考查是现在高考的一个重要特点。一般的抽象函数数学题融函数单调性、周期性、奇偶性、定义域、值域、图像以及不等式、方程等知识于一体，通过赋值整体思考，找出一个具体函数原型等方法去探究该函数的性质，能运用相关性质去解决有关问题，对学生的综合运用知识能力要求很高，因而，这类问题自然成为众多命题者青睐的对象。
在实际的教学工作中一些教师常感觉到学生对这类问题无从下手，束手无策。其实，要想解决好这类扑朔迷离的抽象函数问题，首先应明确如下几个问题：
什么是抽象函数？抽象函数与一般函数的有什么联系？
什么是抽象函数呢？我认为那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数均可称为抽象函数。多数的抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，（1）抽象函数f（x+y）=f（x）+f（y）可由一个特殊函数正比例函数f（x）=kx（k≠0）抽象而成；（2）抽象函数f（xy）=f（x）f（y）可由一个特殊函数幂函数f（x）=x 抽象而成；（3）抽象函数f（x+y）=f（x）f（y）可由一个特殊函数指数函数f（x）=a （a＞0，a≠1）抽象而成；（4）抽象函数f（xy）=f（x）+f（y）可由一个特殊函数对数函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）抽象而成；（5）抽象函数f（x+y）= 可由一个特殊函数正切函数f（x）=tanx抽象而成，等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。这些函数与我们熟悉的函数一样，有其自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等，有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致的示意图像。面对抽象函数数学题，如果我们能明确这些，便能很容易地掌握其实质。
实际解题中，我们又该如何具体求解呢？笔者以为应该做到如下几点：
一、合理赋值，直指目标
例1.若f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且对于一切a，b＞0，都有f（ ）=f（a）-f（b），则f（1）=_________。
解析：求f（1），容易想到与1有关的元素，不妨令a=b=1试试看：显然有f（1）=f（1）-f（1）=0，这是其一。也可注意到 =1，故令a=b，也易求出。
例2.设定义在R上的函数f（x），若对于任意的二实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）+ ，且f（ ）=0，则f（1）=_________。
解析：解决本题思路很多，可考虑令m=n=1，但需研究f（2）的值；也可令m=0，n=1，但是又出现了一个与f（1）无关的式子，故也无法解决。但是若考虑到已知中的f（ ）=0，及1= + ，令m=n= ，问题便迎刃而解了。
例3.已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）值域为（-1，1），且当x＞0时，-1＜f（x）＜0；（2）对于定义域内任意的实数x，y，均满足：f（m+n）= 。试回答下列问题：（Ⅰ）试求f（0）的值；（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性。
分析：（Ⅰ）在f（m+n）= 中，令m＞0，n=0则有f（m）= ，化简得：f（0）［（f（m）） -1］=0。因为f（x）的值域为（-1，1），所以［（f（m）） -1］≠0，所以f（0）=0。
（Ⅱ）函数f（x）的单调性必然涉及f（x）-f（y），于是，由已知
f（m+n）= ，我们联想到：是否有f（m-n）= ？（*）这个问题实际上是：f（-n）=-f（n）是否成立？
为此，我们考虑函数f（-x）与f（x）的关系。由于f（0）=0，所以，在f（m+n）= 中，令n=-m，得f（m）+f（-m）=0，故函数f（x）为奇函数，从而（*）式成立。所以，f（m）-f（n）=f（m-n）［1-f（m）f（n）］。任取x ，x ∈R，且x ＜x ，则x -x ＞0，故f（x -x ）＜0且-1＜f（x ），f（x ）＜1。所以，f（x ）-f（x ）=f（x -x ）［1-f（x ）f（x ）］＜0，所以，函数f（x）在R上单调递减。
可见，在解决此类抽象函数的求值问题或研究其奇偶性、单调性时，往往可采取赋值法。但是究竟赋一个什么样的值，需要结合条件，合理选择。
二、明确背景，类比猜测
例4.给出四个函数，分别满足①f（x+y）=f（x）+f（y）；②g（x+y）=g（x）g（y）；③h（xy）=h（x）+h（y）；④t（xy）=t（x）t（y），又给出四个函数图像：正确的匹配方案是（ ）。
甲 乙 丙 丁
（A）①—丁，②—乙，③—丙，④—甲
（B）①—乙，②—丙，③—甲，④—丁
（C）①—丙，②—甲，③—乙，④—丁
（D）①—丁，②—甲，③—乙，④—丙
解析：多数的抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的，在解决与此类问题有关的选择题、填空题时，往往可以考虑所给问题的相关背景函数，直接类比即可。此题由条件①f（x+y）=f（x）+f（y）；②g（x+y）=g（x）g（y）；③h（xy）=h（x）+h（y）；④t（xy）=t（x）t（y）可分别联想到正比例函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型，问题答案便手到擒来了。
例5.f（x）是定义在（0，+∞）函数，且对于一切a，b＞0，都有f（ ）=f（a）-f（b），且f（2009）＜0，则不等式f（x（x+6））＞f（27）的解集为_________。
解析：考虑到是填空题，对解题过程的严谨性要求不高，由性质f（ ）=f（a）-f（b），可联想到对数函数y=log x；再由f（2009）＜0，可知0＜a＜1，即y=f（x）为（0，+∞）上的减函数。从而问题转化为解不等式x（x+6）＜27。
总之，对这类问题，如果所给抽象函数与我们所学习的熟悉函数性质相同或相近，解题时可注意类比联想，这对我们迅速分析解决此类问题有很大帮助。
三、紧扣性质，抓其本源
例6.设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0。
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明。
（2）试问：当-2009≤x≤2009时，f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。
（3）解关于x的不等式 f（bx ）-f（x）＞ f（b x）-f（b），其中b ≥2。
解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数。
（2）设-2009≤x ＜x ≤2009，y=-x ，x=x ，则f（x -x ）=f（x ）+f（-x ）=f（x ）-f（x ），因为x＞0时，f（x）＜0，故f（x -x ）＜0，即f（x ）-f（x ）＜0。
∴f（x ）＜f（x ）、f（x）在区间［-2009，2009］上单调递减。
∴x=-2009时，f（x）有最大值，f（-2009）=-f（2009）=-f（2008+1）=-［f（2008）+f（1）］=-［f（2007）+f（1）+f（1）］=…=-2009f（1）=4018。
x=2009时，f（x）有最小值，f（2009）=-4018。
（3）由原不等式，得 ［f（bx ）-f（b x）］＞f（x）-f（b）。
即f（bx ）+f（-b x）＞2［f（x）+f（-b）］
∴f（bx -b x）＞2f（x-b），即f［bx（x-b）］＞f（x-b）+f（x-b）
∴f［bx（x-b）］＞f［2f（x-b）］
由于f（x）在x∈R上单调递减，所以bx（x-b）＜2（x-b），∴（x-b）（bx-2）＜0。∵b ≥2，∴b≥ 或b≤- 。
当b＞ 时，b＞ ，不等式的解集为x| ＜x＜b；
当b＜- 时，b＜ ，不等式的解集为x|x＜b或x＞ ；
当b=- 时，不等式的解集为x|x≠ ，且x∈R；
当b= 时，不等式解集为Φ。
评析：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于具有某些性质的抽象函数往往存在奇偶性：
（1）若函数y=f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）是奇函数；
（2）若函数y=f（x）满足f（x）+f（y）=f（ ），则f（x）是奇函数；
（3）若函数y=f（x）满足f（x+y）= ，则f（x）是奇函数；
（4）若函数y=f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），f（x）≠0，则f（x）是偶函数。
解题中如果能注意到并利用这些性质，将会起到事半功倍的效果。
总而言之，面对这类抽象函数问题时我们不妨改变心态，视其扑朔迷离、难以捉摸为新颖独特、活泼有趣，是数学游戏中的“捉迷藏”。拿到此类问题，心中应该明确此类问题的解决无非是合理赋值，化抽象为具体，或作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点，找到其函数背景；复杂问题可作适当的分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题，则多数的问题便会不堪一击，迎刃而解了。
参考文献：
［1］管伟.抽象函数单调性证明技巧.数学教学研究，2007，（7）.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
在实际的教学工作中一些教师常感觉到学生对这类问题无从下手，束手无策。其实，要想解决好这类扑朔迷离的抽象函数问题，首先应明确如下几个问题：
什么是抽象函数？抽象函数与一般函数的有什么联系？
什么是抽象函数呢？我认为那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数均可称为抽象函数。多数的抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，（1）抽象函数f（x+y）=f（x）+f（y）可由一个特殊函数正比例函数f（x）=kx（k≠0）抽象而成；（2）抽象函数f（xy）=f（x）f（y）可由一个特殊函数幂函数f（x）=x 抽象而成；（3）抽象函数f（x+y）=f（x）f（y）可由一个特殊函数指数函数f（x）=a （a＞0，a≠1）抽象而成；（4）抽象函数f（xy）=f（x）+f（y）可由一个特殊函数对数函数f（x）=log x（a＞0，a≠1）抽象而成；（5）抽象函数f（x+y）= 可由一个特殊函数正切函数f（x）=tanx抽象而成，等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。这些函数与我们熟悉的函数一样，有其自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等，有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致的示意图像。面对抽象函数数学题，如果我们能明确这些，便能很容易地掌握其实质。
实际解题中，我们又该如何具体求解呢？笔者以为应该做到如下几点：
一、合理赋值，直指目标
例1.若f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且对于一切a，b＞0，都有f（ ）=f（a）-f（b），则f（1）=_________。
解析：求f（1），容易想到与1有关的元素，不妨令a=b=1试试看：显然有f（1）=f（1）-f（1）=0，这是其一。也可注意到 =1，故令a=b，也易求出。
例2.设定义在R上的函数f（x），若对于任意的二实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）+ ，且f（ ）=0，则f（1）=_________。
解析：解决本题思路很多，可考虑令m=n=1，但需研究f（2）的值；也可令m=0，n=1，但是又出现了一个与f（1）无关的式子，故也无法解决。但是若考虑到已知中的f（ ）=0，及1= + ，令m=n= ，问题便迎刃而解了。
例3.已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）值域为（-1，1），且当x＞0时，-1＜f（x）＜0；（2）对于定义域内任意的实数x，y，均满足：f（m+n）= 。试回答下列问题：（Ⅰ）试求f（0）的值；（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性。
分析：（Ⅰ）在f（m+n）= 中，令m＞0，n=0则有f（m）= ，化简得：f（0）［（f（m）） -1］=0。因为f（x）的值域为（-1，1），所以［（f（m）） -1］≠0，所以f（0）=0。
（Ⅱ）函数f（x）的单调性必然涉及f（x）-f（y），于是，由已知
f（m+n）= ，我们联想到：是否有f（m-n）= ？（*）这个问题实际上是：f（-n）=-f（n）是否成立？
为此，我们考虑函数f（-x）与f（x）的关系。由于f（0）=0，所以，在f（m+n）= 中，令n=-m，得f（m）+f（-m）=0，故函数f（x）为奇函数，从而（*）式成立。所以，f（m）-f（n）=f（m-n）［1-f（m）f（n）］。任取x ，x ∈R，且x ＜x ，则x -x ＞0，故f（x -x ）＜0且-1＜f（x ），f（x ）＜1。所以，f（x ）-f（x ）=f（x -x ）［1-f（x ）f（x ）］＜0，所以，函数f（x）在R上单调递减。
可见，在解决此类抽象函数的求值问题或研究其奇偶性、单调性时，往往可采取赋值法。但是究竟赋一个什么样的值，需要结合条件，合理选择。
二、明确背景，类比猜测
例4.给出四个函数，分别满足①f（x+y）=f（x）+f（y）；②g（x+y）=g（x）g（y）；③h（xy）=h（x）+h（y）；④t（xy）=t（x）t（y），又给出四个函数图像：正确的匹配方案是（ ）。
甲 乙 丙 丁
（A）①—丁，②—乙，③—丙，④—甲
（B）①—乙，②—丙，③—甲，④—丁
（C）①—丙，②—甲，③—乙，④—丁
（D）①—丁，②—甲，③—乙，④—丙
解析：多数的抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的，在解决与此类问题有关的选择题、填空题时，往往可以考虑所给问题的相关背景函数，直接类比即可。此题由条件①f（x+y）=f（x）+f（y）；②g（x+y）=g（x）g（y）；③h（xy）=h（x）+h（y）；④t（xy）=t（x）t（y）可分别联想到正比例函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型，问题答案便手到擒来了。
例5.f（x）是定义在（0，+∞）函数，且对于一切a，b＞0，都有f（ ）=f（a）-f（b），且f（2009）＜0，则不等式f（x（x+6））＞f（27）的解集为_________。
解析：考虑到是填空题，对解题过程的严谨性要求不高，由性质f（ ）=f（a）-f（b），可联想到对数函数y=log x；再由f（2009）＜0，可知0＜a＜1，即y=f（x）为（0，+∞）上的减函数。从而问题转化为解不等式x（x+6）＜27。
总之，对这类问题，如果所给抽象函数与我们所学习的熟悉函数性质相同或相近，解题时可注意类比联想，这对我们迅速分析解决此类问题有很大帮助。
三、紧扣性质，抓其本源
例6.设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0。
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明。
（2）试问：当-2009≤x≤2009时，f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。
（3）解关于x的不等式 f（bx ）-f（x）＞ f（b x）-f（b），其中b ≥2。
解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数。
（2）设-2009≤x ＜x ≤2009，y=-x ，x=x ，则f（x -x ）=f（x ）+f（-x ）=f（x ）-f（x ），因为x＞0时，f（x）＜0，故f（x -x ）＜0，即f（x ）-f（x ）＜0。
∴f（x ）＜f（x ）、f（x）在区间［-2009，2009］上单调递减。
∴x=-2009时，f（x）有最大值，f（-2009）=-f（2009）=-f（2008+1）=-［f（2008）+f（1）］=-［f（2007）+f（1）+f（1）］=…=-2009f（1）=4018。
x=2009时，f（x）有最小值，f（2009）=-4018。
（3）由原不等式，得 ［f（bx ）-f（b x）］＞f（x）-f（b）。
即f（bx ）+f（-b x）＞2［f（x）+f（-b）］
∴f（bx -b x）＞2f（x-b），即f［bx（x-b）］＞f（x-b）+f（x-b）
∴f［bx（x-b）］＞f［2f（x-b）］
由于f（x）在x∈R上单调递减，所以bx（x-b）＜2（x-b），∴（x-b）（bx-2）＜0。∵b ≥2，∴b≥ 或b≤- 。
当b＞ 时，b＞ ，不等式的解集为x| ＜x＜b；
当b＜- 时，b＜ ，不等式的解集为x|x＜b或x＞ ；
当b=- 时，不等式的解集为x|x≠ ，且x∈R；
当b= 时，不等式解集为Φ。
评析：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于具有某些性质的抽象函数往往存在奇偶性：
（1）若函数y=f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）是奇函数；
（2）若函数y=f（x）满足f（x）+f（y）=f（ ），则f（x）是奇函数；
（3）若函数y=f（x）满足f（x+y）= ，则f（x）是奇函数；
（4）若函数y=f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），f（x）≠0，则f（x）是偶函数。
解题中如果能注意到并利用这些性质，将会起到事半功倍的效果。
总而言之，面对这类抽象函数问题时我们不妨改变心态，视其扑朔迷离、难以捉摸为新颖独特、活泼有趣，是数学游戏中的“捉迷藏”。拿到此类问题，心中应该明确此类问题的解决无非是合理赋值，化抽象为具体，或作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点，找到其函数背景；复杂问题可作适当的分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题，则多数的问题便会不堪一击，迎刃而解了。
参考文献：
［1］管伟.抽象函数单调性证明技巧.数学教学研究，2007，（7）.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”