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传说中头发根根上竖的爆炸头，只能在卡通片中见到，因为人的头发不是垂直地长在头上的。毛囊会和皮肤表面形成一个角度，头发长出来时会倾斜着倚在脑袋上。临近的两根头发，倾斜的方向也很接近。只要顺着头发自然生长的方向梳，头发总会听话地服帖在脑袋上。伸手摸一摸脑袋上的头发，是不是很顺?
且慢——细心的同學很快提出异议了：“把发旋忘了吧?发旋是梳不平的。”是啊，人的头发为什么会有旋呢?
扒拉一下头顶的头发，你就会发现每个人都有发旋，有的人还不止一个。卷发的人，发旋不如直发的人明显。古人相信发旋的数目能影响人的性格和命运，旋越多，才能就越突出，脾气也越坏。时至今日，些地方还有“一个旋愣，两个旋横，三个旋敢和火车碰”这样的俚语。这些迷信近乎诅咒，不少父母和孩子为此迷惑不已。除此之外，发旋还带来很多生活上的不便。有些人的发旋靠近额头，刘海总是乱蓬蓬的；还有些人有多个发旋，发旋之间距离太近，常常为想做的发型做不了而苦恼。
作为外在形象的一部分，头发“柔顺”显然更具有吸引力。讲究形象和卫生的有毛动物，例如猫，生活的一大主题就是梳理毛发。既然如此，在漫长的进化过程中，人类为什么没有把这个“柔顺的绊脚石”抛弃掉？在搞清这个问题之前，我们先来做个实验。
趣味实验：方向迷阵
喜爱动手的你可以找来一个乒乓球，用铅笔在上面画短箭头，假装在画一个人头发倾斜的方向。箭头的起始位置表示头发长出来的地方，短箭头的方向表示头发倾斜的方向。不过，要满足下面两个条件：
1.除起点外不要交叉——如果有两根箭头交叉了，岂不是说那里的一根头发有两个方向?
2.相邻的箭头方向也要相近——人的头发就是如此嘛!
按照这两个条件画得越密越好，密到不能再画时，停下来看看。
如果没做错的话，你会发现有个地方画不上箭头，只好让那里空着。从这个地方出发画箭头，不论选择朝哪个方向画，都会违背上面的两个条件。擦掉并尝试几次，你会发现，虽然每次画不上箭头的地方都不一样，但总是有这么一个地方，总是没办法消除。
数學家已经证明了，在一个球面上按照上述方法画箭头，至少有一个点是画不上的，换句话说，没办法给出这一点的方向。所以，在人的脑袋上，总会找到一个地方不长头发——没错，你已经猜到了，这里就是发旋的中心。在它的周围，头发螺旋状地生长，好像在脑袋上留下了一场龙卷风。
其实，真实世界的龙卷风，也隐藏着同样的道理。
科學存疑：众说纷纭的头发旋
医學家说：头发旋不是人为的结果。人的头发是由原来头顶上的胎毛在激素的作用下逐渐转化成的，这就提示我们，头发旋产生的原因或许该从头顶胎毛是否有旋上去寻找，更进一步，或许该从毛囊的分布规律去寻找。
植物學家说：植物们都是天生的数學家，它们不约而同地选择最佳的方式生长，使空间得到最理想的利用。“旋”就是黄金螺线的原点，向日葵不但葵盘上有一左一右的黄金螺旋，而且每朵小花或果花上也有两条黄金螺旋。
动物學家说：蜘蛛网的构造与黄金螺线相似，而昆虫以黄金螺线的方式接近光源。
天文學爱好者说：头发旋的旋转方向是不是跟地球的自转与公转有关?就像水的漩涡一样，北半球人的头发旋大多是顺时针的。
还有很多人说：头发旋也许跟指纹一样，受遗传基因的影响；头发旋的旋转方向可能还跟左右撇子有关……
可以颠倒乾坤的风
空气的流动形成风。设想有朝一日，气象學家拥有呼风唤雨的能力，可以让地球上任意地点的风听从摆布——暂且不考虑这样做的危害——那么，你能让地球上处处都刮风吗？
直接回答这个问题并不容易，不过可以换个角度思考。我们可以这么想：
1.风有方向，就像头发有方向，并且每个地方的风只有一个方向；
2.空气的流动是遵循“相邻的方向也要相近”这个规则的。
因此，刚才的趣味实验完全可以认为是在模拟地球上的风向。这样，我们就把地球上是否可以处处刮风的问题，转化成了脑袋上是否能处处长头发的问题。既然我们已经知道，无论如何都没办法给地球上的某个位置指定一个方向，那也就可以推断出，不论在什么时间，地球上总有一个地方是没有风的。只要地球上还在刮风，就会产生漩涡，所以龙卷风不能消除，控制地球气象在理论上就是有限制的，更不用说实际操作的难度了。
延伸阅读：注意，刚才我们运用了一种重要的数學思想：化归：即转化和归结。通过化归，我们能把很多未知问题转化为已解决的问题。事实上，关于数學家有这样一个冷笑话：“屋里着火，桌上有灭火器：物理學家拿起灭火器，灭火；数學家拿起灭火器，灭火。屋里又着火，墙角有灭火器：物理學家拿起灭火器，灭火；数學家拿起灭火器，把灭火器放桌上，离开。”
什么是橡皮几何
头上为什么有发旋，地球上为什么有龙卷风，这两个本质上相同的问题，可以从19世纪发展起来的拓扑學中寻求解释。拓扑學的名字听起来有些怪，它是topology的音译，意译为连续几何。不过，这两个名字都不如它的外号“橡皮几何”形象生动又广为人知。
中學数學课上學的几何在现代通常称为初等几何。在初等几何中，无论对几何体做多少次平移、旋转或镜像，长度、面积、夹角等性质是不变的，这些性质就是初等几何的主要研究对象。粗浅地讲，初等几何的研究对象就是几何体在平移、旋转及镜像变换下的不变性质。初等几何學里的诸多等式，都是在描述这些不变性质。从某种意义上讲，数學的各个分支就是研究不同领域对象的不变性质的學科。
拓扑學的研究对象就不一样了。对拓扑學家来说，一切研究对象都是橡皮做的，可以任意拉伸、压缩、扭曲，只要不拉断或黏合，这对象就没有发生改变，术语叫做变换前与变换后的对象同胚。“同胚”这个词里的“胚”指的是雏形，就像捏泥塑时最初的那块泥胚；同胚就是说，变换前后的两个形状，可以从同一个泥胚变形而来。看起来怪异，其实是个很形象的词。
“任意拉伸、压缩、扭曲，而不黏合或拉断”的变换，术语叫做拓扑变换，又叫做一对一的连续变换。这里的“连续”是什么意思呢?考虑最简单的对象：橡皮绳。找来一根长度为1的橡皮绳，固定最左端，把右端向外拉伸1个长度。如果橡皮绳没有断，并且被均匀拉伸了，那么可以画出图象：
这里的图象是连续的，因此刚才的“均匀拉伸变换”是连续的。如果用力过猛，拉断了，图象可能是如下的样子：
这个图象表示橡皮绳从距离左端0.6的位置断开了。直观看来，这里的图象中间有间断而不再连续，因此“拉断变换”也是不连续的。原本橡皮绳上0.6位置的左右 两端是相连的，拉伸后这两边的距离变成了1，因此图象变成了2截，在0.6处出现了断点。将“连续”的具体内涵抽提出来，便是：相邻的点在变换后仍然相邻。只要变换是连续的，那么点与点之间的相邻关系就不会改变。之前说到的“顺”“流动”的本质都是连续。
“不能黏合”保证了一对一的关系，“不能拉断”保证了点与点之间的相邻关系不会改变。这两个要求概括了拓扑变换的内涵。三角形、矩形、椭圆都是“自身不相交的封闭曲线”，在拓扑學中都是同胚的，简单封闭就是它们在拓扑变换下的不变性质。显然长度、夹角等数學量在拓扑學中都不是不变性质，因此它们不是拓扑學研究的对象。咖啡杯和面包圈的共同点在于它们都只有一个洞，对拓扑學家来说，咖啡杯和面包圈形状上的区别没有意义，这“只有一个洞”的性质，才是拓扑學所要研究的不变性质。
延伸阅读：德国数學家赫尔曼
且慢——细心的同學很快提出异议了：“把发旋忘了吧?发旋是梳不平的。”是啊，人的头发为什么会有旋呢?
扒拉一下头顶的头发，你就会发现每个人都有发旋，有的人还不止一个。卷发的人，发旋不如直发的人明显。古人相信发旋的数目能影响人的性格和命运，旋越多，才能就越突出，脾气也越坏。时至今日，些地方还有“一个旋愣，两个旋横，三个旋敢和火车碰”这样的俚语。这些迷信近乎诅咒，不少父母和孩子为此迷惑不已。除此之外，发旋还带来很多生活上的不便。有些人的发旋靠近额头，刘海总是乱蓬蓬的；还有些人有多个发旋，发旋之间距离太近，常常为想做的发型做不了而苦恼。
作为外在形象的一部分，头发“柔顺”显然更具有吸引力。讲究形象和卫生的有毛动物，例如猫，生活的一大主题就是梳理毛发。既然如此，在漫长的进化过程中，人类为什么没有把这个“柔顺的绊脚石”抛弃掉？在搞清这个问题之前，我们先来做个实验。
趣味实验：方向迷阵
喜爱动手的你可以找来一个乒乓球，用铅笔在上面画短箭头，假装在画一个人头发倾斜的方向。箭头的起始位置表示头发长出来的地方，短箭头的方向表示头发倾斜的方向。不过，要满足下面两个条件：
1.除起点外不要交叉——如果有两根箭头交叉了，岂不是说那里的一根头发有两个方向?
2.相邻的箭头方向也要相近——人的头发就是如此嘛!
按照这两个条件画得越密越好，密到不能再画时，停下来看看。
如果没做错的话，你会发现有个地方画不上箭头，只好让那里空着。从这个地方出发画箭头，不论选择朝哪个方向画，都会违背上面的两个条件。擦掉并尝试几次，你会发现，虽然每次画不上箭头的地方都不一样，但总是有这么一个地方，总是没办法消除。
数學家已经证明了，在一个球面上按照上述方法画箭头，至少有一个点是画不上的，换句话说，没办法给出这一点的方向。所以，在人的脑袋上，总会找到一个地方不长头发——没错，你已经猜到了，这里就是发旋的中心。在它的周围，头发螺旋状地生长，好像在脑袋上留下了一场龙卷风。
其实，真实世界的龙卷风，也隐藏着同样的道理。
科學存疑：众说纷纭的头发旋
医學家说：头发旋不是人为的结果。人的头发是由原来头顶上的胎毛在激素的作用下逐渐转化成的，这就提示我们，头发旋产生的原因或许该从头顶胎毛是否有旋上去寻找，更进一步，或许该从毛囊的分布规律去寻找。
植物學家说：植物们都是天生的数學家，它们不约而同地选择最佳的方式生长，使空间得到最理想的利用。“旋”就是黄金螺线的原点，向日葵不但葵盘上有一左一右的黄金螺旋，而且每朵小花或果花上也有两条黄金螺旋。
动物學家说：蜘蛛网的构造与黄金螺线相似，而昆虫以黄金螺线的方式接近光源。
天文學爱好者说：头发旋的旋转方向是不是跟地球的自转与公转有关?就像水的漩涡一样，北半球人的头发旋大多是顺时针的。
还有很多人说：头发旋也许跟指纹一样，受遗传基因的影响；头发旋的旋转方向可能还跟左右撇子有关……
可以颠倒乾坤的风
空气的流动形成风。设想有朝一日，气象學家拥有呼风唤雨的能力，可以让地球上任意地点的风听从摆布——暂且不考虑这样做的危害——那么，你能让地球上处处都刮风吗？
直接回答这个问题并不容易，不过可以换个角度思考。我们可以这么想：
1.风有方向，就像头发有方向，并且每个地方的风只有一个方向；
2.空气的流动是遵循“相邻的方向也要相近”这个规则的。
因此，刚才的趣味实验完全可以认为是在模拟地球上的风向。这样，我们就把地球上是否可以处处刮风的问题，转化成了脑袋上是否能处处长头发的问题。既然我们已经知道，无论如何都没办法给地球上的某个位置指定一个方向，那也就可以推断出，不论在什么时间，地球上总有一个地方是没有风的。只要地球上还在刮风，就会产生漩涡，所以龙卷风不能消除，控制地球气象在理论上就是有限制的，更不用说实际操作的难度了。
延伸阅读：注意，刚才我们运用了一种重要的数學思想：化归：即转化和归结。通过化归，我们能把很多未知问题转化为已解决的问题。事实上，关于数學家有这样一个冷笑话：“屋里着火，桌上有灭火器：物理學家拿起灭火器，灭火；数學家拿起灭火器，灭火。屋里又着火，墙角有灭火器：物理學家拿起灭火器，灭火；数學家拿起灭火器，把灭火器放桌上，离开。”
什么是橡皮几何
头上为什么有发旋，地球上为什么有龙卷风，这两个本质上相同的问题，可以从19世纪发展起来的拓扑學中寻求解释。拓扑學的名字听起来有些怪，它是topology的音译，意译为连续几何。不过，这两个名字都不如它的外号“橡皮几何”形象生动又广为人知。
中學数學课上學的几何在现代通常称为初等几何。在初等几何中，无论对几何体做多少次平移、旋转或镜像，长度、面积、夹角等性质是不变的，这些性质就是初等几何的主要研究对象。粗浅地讲，初等几何的研究对象就是几何体在平移、旋转及镜像变换下的不变性质。初等几何學里的诸多等式，都是在描述这些不变性质。从某种意义上讲，数學的各个分支就是研究不同领域对象的不变性质的學科。
拓扑學的研究对象就不一样了。对拓扑學家来说，一切研究对象都是橡皮做的，可以任意拉伸、压缩、扭曲，只要不拉断或黏合，这对象就没有发生改变，术语叫做变换前与变换后的对象同胚。“同胚”这个词里的“胚”指的是雏形，就像捏泥塑时最初的那块泥胚；同胚就是说，变换前后的两个形状，可以从同一个泥胚变形而来。看起来怪异，其实是个很形象的词。
“任意拉伸、压缩、扭曲，而不黏合或拉断”的变换，术语叫做拓扑变换，又叫做一对一的连续变换。这里的“连续”是什么意思呢?考虑最简单的对象：橡皮绳。找来一根长度为1的橡皮绳，固定最左端，把右端向外拉伸1个长度。如果橡皮绳没有断，并且被均匀拉伸了，那么可以画出图象：
这里的图象是连续的，因此刚才的“均匀拉伸变换”是连续的。如果用力过猛，拉断了，图象可能是如下的样子：
这个图象表示橡皮绳从距离左端0.6的位置断开了。直观看来，这里的图象中间有间断而不再连续，因此“拉断变换”也是不连续的。原本橡皮绳上0.6位置的左右 两端是相连的，拉伸后这两边的距离变成了1，因此图象变成了2截，在0.6处出现了断点。将“连续”的具体内涵抽提出来，便是：相邻的点在变换后仍然相邻。只要变换是连续的，那么点与点之间的相邻关系就不会改变。之前说到的“顺”“流动”的本质都是连续。
“不能黏合”保证了一对一的关系，“不能拉断”保证了点与点之间的相邻关系不会改变。这两个要求概括了拓扑变换的内涵。三角形、矩形、椭圆都是“自身不相交的封闭曲线”，在拓扑學中都是同胚的，简单封闭就是它们在拓扑变换下的不变性质。显然长度、夹角等数學量在拓扑學中都不是不变性质，因此它们不是拓扑學研究的对象。咖啡杯和面包圈的共同点在于它们都只有一个洞，对拓扑學家来说，咖啡杯和面包圈形状上的区别没有意义，这“只有一个洞”的性质，才是拓扑學所要研究的不变性质。
延伸阅读：德国数學家赫尔曼