一、试题呈现
　　设P是△ABC内的一点，直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M，圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC=SP，证明：MK=ML[1].（第51届IMO）
　　证明：如下图，设AC>BC，由切割线定理知SC2=SP2=SB·SA，就有△APS∽△PBS，△ACS∽△CBS，
　　于是BC1AC=BP1AP①
　　由相交弦定理知ML1BC=PM1PB②，AC1MK=PA1PM③，
　　②×③得ML·AC1MK·BC=PA1PB④，
　　①×④得ML1MK=1，故MK=ML.
　　二、题目条件减弱
　　设P是△ABC的外接圆内的一点，直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M，圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC=SP，证明：MK=ML.（证明同上，故从略.）
　　三、逆命题也成立
　　设P（除圆心）是△ABC的外接圆内的一点，直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M，圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若MK=ML，证明：SC=SP.
　　证明（同一法）：设AC>BC，△ABP的外接圆Ω在P点的切线交直线AB于S′，由切割线定理注意到：
　　△CBS∽△ACS，△PBS′∽△APS′
　　有SB1SC=SC1SA=CB1CA①，
　　S′B1S′P=S′P1S′A=PB1PA②，
　　①②知SB1SA=CB21CA2③，S′B1S′A=PB21PA2④.
　　由相交弦定理注意到CB1PB=ML1PM，CA1PA=MK1PM，又ML=MK，有CB1CA=PB1PA⑤，由③④⑤知SB1SA=S′B1S′A，于是就有SB1AB=S′B1AB，故S和S′重合（由题设知S′与A处于B的异侧）.综上①②⑤知SC=SP.
　　参考文献
　　[1]2010第51届IMO[J].中等数学，2010（9）.
　　（责任编辑黄桂坚）