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例1 如图1，由ai，bi，ci，di（i=1，2，3，4）这16个数排成的一个四阶幻方：每行、每列、以及两条对角线上四个数的和都相等，设这个相等的和是S，则a1+a2+a3+a4，b1+b2+b3+b4，c1+c2+c3+c4，d1+d2+d3+d4这四个和数必都等于S.
分析与解 据题设，将两条对角线上（4×2=）8个数求和，可得等式：（a1+d1+d3+a3）+（a2+d2+d4+a4）=2S，
即a1+a2+a3+a4
=2S-（d1+d2+d3+d4），
（1）
再将第二、三两行上（4×2=）8个数求和，得等式：
（c1+d1+d2+c2）+（c4+d4+d3+c3）=2S，
即c1+c2+c3+c4
=2S-（d1+d2+d3+d4），
（2）
又将第二、三两列上（4×2=）8个数，求和，得等等式：
（b1+d1+d4+b4）+（b2+d2+d3+b3）=2S，
即b1+b2+b3+b4
=2S-（d1+d2+d3+d4）
（3）
由（1）、（2）、（3）式的右端都相同，可知左端的三个和也都相等，即
a1+a2+a3+a4
=b1+b2+b3+b4
=c1+c2+c3+c4
=2S-（d1+d2+d3+d4）.
（4）
又由（1）+（3）式得
（a1+a2+a3+a4）+（b1+b2+b3+b4）=4S-2（d1+d2+d3+d4），注意到等号左端的8个数正是第一、四行的8个数，它们的级也是2S，代入上式得
2S=4S-2（d1+d2+d3+d4），
故d1+d2+d3+d4=S.
（5）
再将（5）式代入（4）式右端即得
a1+a2+a3+a4
=b1+b2+b3+b4
=c1+c2+c3+c4=S.
（6）
由例1立即可得.
例2 在图1中这个四阶幻方中，有等式：
（1）a1+a2=b3+b4，a3+a4=b1+b2；（2）c1+c2=d3+d4，c3+c4=d1+d2；（3）a1+a3=d2+d4，a2+a4=d1+d3.
分析与解 （1）因为第一行上四个数的和是S，即（a1+a2）+（b1+b2）=S，由例1的（6）式知，a1+a2=b3+b4，b1+b2=a3+a4；（2）因为第二行及第三行上四个数的和都是S，即（c1+c2）+（d1+d2）=S，及（c3+c4）+（d3+d4）=S.由例1的（5）式知c1+c2=d3+d4，c3+c4=d1+d2.
（3）因为两条对角线上四个数的和都是S，即（a1+a3）+（d1+d3）=S及（a2+a4）+（d2+d4）=S，由例1的（5）式知，a1+a3=d2+d4，a2+a4=d1+d3.
为了便于运用例1及例2的结果，分别总结如下：
结论（1） 四阶幻方中，第1、4两行（列）的两端四个数的和及中间四个数的和都等于这个相等的和S；第2、3两行（列）的两端四个数的和及中间四个数的和都等于S；
结论（2） 四阶幻方中，第1（4）行[列]上两端两数之和等于第4（1）行[列]上中间两数之和；一条对角线上两端两数之和，等于另一条对角线中间两数的和.
活用上述结论，易解下列各题：
题1 图2是一个四阶幻方，其中已知八个数，试求其它八个未知数.
分析与解 观察对角线上数学及结论（2）知0+15=a+9，故a=6；再看第1、4列，得3+15=11+6，故b=7；看第2行中，四数之和：8+6+5+11=30，故此四阶幻方的相等的和是30，由此可依次地得知c=4，d=10，e=1，f=12，g=2，h=14.
说明 上述计算过程只要熟悉了上述两个结论，只须在图2上，用心并直接写出各数，而且上述求解程序也可灵活多样，并不一定按上例程序求解.类似地可解下题：
题2 图3是一个四阶幻方，其中a，b，c，d，e，f，g，h都是已知数，试求出八个空格中各数.
解 活用结论（1）及（2），即得图4.
题3 在图5中，已知八个数，那么能否找八个空格中的各数，使该图组成一个四阶幻方？为什么？
分析与解 不能.理由是：第一行中间两数的和：12+14=26，而第四行两端两数的和：13+16=29，可见26≠29.与结论（2）不符；或第二行两端两数的和：15+9=24，而第三行中间两数的和：17+6=23，可见24≠23，与结论（2）不符.
分析与解 据题设，将两条对角线上（4×2=）8个数求和，可得等式：（a1+d1+d3+a3）+（a2+d2+d4+a4）=2S，
即a1+a2+a3+a4
=2S-（d1+d2+d3+d4），
（1）
再将第二、三两行上（4×2=）8个数求和，得等式：
（c1+d1+d2+c2）+（c4+d4+d3+c3）=2S，
即c1+c2+c3+c4
=2S-（d1+d2+d3+d4），
（2）
又将第二、三两列上（4×2=）8个数，求和，得等等式：
（b1+d1+d4+b4）+（b2+d2+d3+b3）=2S，
即b1+b2+b3+b4
=2S-（d1+d2+d3+d4）
（3）
由（1）、（2）、（3）式的右端都相同，可知左端的三个和也都相等，即
a1+a2+a3+a4
=b1+b2+b3+b4
=c1+c2+c3+c4
=2S-（d1+d2+d3+d4）.
（4）
又由（1）+（3）式得
（a1+a2+a3+a4）+（b1+b2+b3+b4）=4S-2（d1+d2+d3+d4），注意到等号左端的8个数正是第一、四行的8个数，它们的级也是2S，代入上式得
2S=4S-2（d1+d2+d3+d4），
故d1+d2+d3+d4=S.
（5）
再将（5）式代入（4）式右端即得
a1+a2+a3+a4
=b1+b2+b3+b4
=c1+c2+c3+c4=S.
（6）
由例1立即可得.
例2 在图1中这个四阶幻方中，有等式：
（1）a1+a2=b3+b4，a3+a4=b1+b2；（2）c1+c2=d3+d4，c3+c4=d1+d2；（3）a1+a3=d2+d4，a2+a4=d1+d3.
分析与解 （1）因为第一行上四个数的和是S，即（a1+a2）+（b1+b2）=S，由例1的（6）式知，a1+a2=b3+b4，b1+b2=a3+a4；（2）因为第二行及第三行上四个数的和都是S，即（c1+c2）+（d1+d2）=S，及（c3+c4）+（d3+d4）=S.由例1的（5）式知c1+c2=d3+d4，c3+c4=d1+d2.
（3）因为两条对角线上四个数的和都是S，即（a1+a3）+（d1+d3）=S及（a2+a4）+（d2+d4）=S，由例1的（5）式知，a1+a3=d2+d4，a2+a4=d1+d3.
为了便于运用例1及例2的结果，分别总结如下：
结论（1） 四阶幻方中，第1、4两行（列）的两端四个数的和及中间四个数的和都等于这个相等的和S；第2、3两行（列）的两端四个数的和及中间四个数的和都等于S；
结论（2） 四阶幻方中，第1（4）行[列]上两端两数之和等于第4（1）行[列]上中间两数之和；一条对角线上两端两数之和，等于另一条对角线中间两数的和.
活用上述结论，易解下列各题：
题1 图2是一个四阶幻方，其中已知八个数，试求其它八个未知数.
分析与解 观察对角线上数学及结论（2）知0+15=a+9，故a=6；再看第1、4列，得3+15=11+6，故b=7；看第2行中，四数之和：8+6+5+11=30，故此四阶幻方的相等的和是30，由此可依次地得知c=4，d=10，e=1，f=12，g=2，h=14.
说明 上述计算过程只要熟悉了上述两个结论，只须在图2上，用心并直接写出各数，而且上述求解程序也可灵活多样，并不一定按上例程序求解.类似地可解下题：
题2 图3是一个四阶幻方，其中a，b，c，d，e，f，g，h都是已知数，试求出八个空格中各数.
解 活用结论（1）及（2），即得图4.
题3 在图5中，已知八个数，那么能否找八个空格中的各数，使该图组成一个四阶幻方？为什么？
分析与解 不能.理由是：第一行中间两数的和：12+14=26，而第四行两端两数的和：13+16=29，可见26≠29.与结论（2）不符；或第二行两端两数的和：15+9=24，而第三行中间两数的和：17+6=23，可见24≠23，与结论（2）不符.