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作业是教学活动的延续，通过作业可以促进学生对所学知识的掌握。但是，由于受应试教育的影响，作业往往只是作为巩固、检查和评比知识的一个教学环节，特别是“题海战术”造成了学与用的脱节，严重影响着学生的身心健康。所以，改革作业形式，设计学生受欢迎的作业，通过作业促进学生的身心健康发展是高中数学教学改革的任务之一。
一、设计多元化及开放性的作业
为适应学生的个体差异，教学中教师必须从多角度考虑教学中所遇到的各种问题。学生是各异的，问题也是多样的，这就决定了在教师做作业设计时，应当采取多元化的思路，进行多元的作业训练安排，发散学生的学习思维，引导学生灵活地思考问题。这样的作业设计不仅是多元化的，更是开放性的，它应该能够拓展学生的知识广度，加强学生学习与思维的深度。新教材在内容上增加了了许多阅读材料，也编排了选学内容。这对于开阔学生的视野，丰富学生的知识储备，具有积极的促进作用。与此相适应，教师在作业的设计上，也应该多加入一些拓展性、发散性。通过多元化和开放性的作业训练，培养学生自觉学习新知识的兴趣，巩固加强学生对知识点的理解程度和熟悉程度。最后，作业的设计也要遵循个体在理解与记忆上的规律，在作业内容具有多元化及开放性的基础上，还应该有目的地安排一些教材上已经学习过的有关知识点的题目，以作业重现的方式，使学生牢固掌握已经学习到的知识。数学是一门抽象性很强的学科，学生只有通过反复练习与重现记忆，才能熟练地掌握并运用。
二、设计富有个性化的作业
高中数学知识灵活性强，且抽象思维明显。所以学生的学习成绩各不相同，区分度明显，优秀的学生与学习困难的学生之间存在着明显的差别。作为教师应该考虑这种差异性。所以，作业的设计要有针对性与层次性，针对不同学生设计不同的作业内容，让不同层次的学生都能够选择到自己这个层面的作业内容，多样化和选择性是新课改理念下的作业原则。
例如，在讲“一元二次不等式”后，布置作业：
第一层：解下列不等式。
（1）4x2-4x＞15；（2）x（x＋2）＜x（3-x）＋1。
第二层：已知不等式kx2-2x 6k＜0（k≠0）。
如果不等式的解集为：｛x|x<-3或x>-2｝，求k的值。
在这里，优秀的学生可以选择做第二层，而学习困难的学生可以选择做第一层。这样的个性化作业和分层布置，使全体学生都有了解答的任务和欲望，增强了学生学习数学的信心。
三、设计具有实践性的作业
实践作业就是教师引导学生通过综合分析与实践活动来完成的作业。它是根据教学内容和学生的兴趣爱好，把生活问题转为数学问题，用数学思维来看待生活问题，用数学方法解决生活问题。
首先，教师要引导学生关注现实生活，联系实际，以学生自身生活和社会生活为基础，通过视察、归纳、总结，让学生在彼此合作中完成作业。
其次，教师要引导学生通过社会实践考察、调查、询问，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，在完成作业过程中体验数学学习带来的乐趣。
最后，对一些抽象的规律性的数学知识，借助必要的实践操作活动，不仅能丰富学生的感知，又是探究、发现规律性数学知识的途径。
例如，在讲“排列组合”时，探究两把软锁子锁两辆自行车的锁法有多少种的问题，引导学生通过对自行车这个熟悉的事物进行操作实践，从中发现规律，激发学生的学习兴趣。
四、设计具有差异性的作业
由于各种因素的影响，不同认知能力与基础知识不同的学生学习水平会不同，存在一定的差距是正常的。教师在教学中要因材施教，正确对待则可缩小这种差距。作业设计同样需要因人而施。可以根据学生发展水平分为几组，分类布置不同的作业。在布置作业时，适量布置一些选做题，让不同层次的学生“量力而行”。
例如，在讲“等差数列”、“等比数列”时，教师可根据不同学生的实际情况，布置不同的作业，基础较好的学生先做比较复杂的题目，如果时间有剩余再做比较简单的题目，而基础不好的学生则先做基础题，如果有时间再钻研比较复杂的题目，这样所有的学生在规定的时间内就都有事可做。
总之，作业是高中数学教学过程中必不可少的环节。适当的数学作业，不仅有利子学生巩固学过的知识、培养数学思维能力、提高解题的速度，而且有利于培养学生的创新能力，还便于教师了解学生的学习情况，进而有针对性地安排教学内容。所以，完善作业的设计对于提高数学教学效率有着重要的意义。
数形结合在数学解题中的应用
河北青县一中卜月芹
数学课程标准提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。数形结合是高中数学解题的一种重要解题思想。在数学教学过程中，教师适当培养学生数形结合的解题思路，能有效提高学生的解题能力。
一、数形结合的概念
何谓数形结合，数形结合就是通过数学中“数”和“形”这两个基本概念的相互化来帮助分析和解决数学题目，它是目前被广泛使用的一种科学的思想解题方法。“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休”，这是著名数学家华罗庚在一首诗中间接指出的数学解题思想，意思就是说数和形都存在着其缺陷性，只有当两者有效地结合在一起时才能发挥它们的最大功效。因此，如何有效地将数、形结合起来，从而起到良好的解题效果，是我们目前必须关注的现实问题。
二、数形结合的意义
1．数形结合有利于降低解题的思维难度，使抽象的题目直观形象化
我们知道，数学语言是一种特殊的语言符号，它是一种复杂而极具理性思维难度的独特语言，而图表、图象则是一种形象视觉的表征。因此，数形结合思想的巧妙使用，能够消解数学语言的复杂度，同时降低其逻辑思维难度，对于学生的解题运用有着十分重要的作用。此外，图表、图象的表征性能以“形”激情，从而激发学生学习数学知识的热情和探索数学奥秘的欲望。 2．数形结合能培养学生的空间立体感，从而有效促进由形象思维到抽象思维的过渡
数形结合的一大特色就是“以数想形”，学生在解题过程中一接触到数学代数式，就能自然而然地在脑海中用空间立体图象准确地建构出来，这对于将学生从基础的形象思维过渡到创造性的抽象思维有着很大的促进作用。反之，“以形助数”也能够利用直观的表征图象来使复杂难懂的代数式子变得形象而易懂，即通过形象思维的建构来促进逻辑思维的发展。
3．数形结合能有效启迪和明朗解题的思路
实践证明，数形结合是一种十分有效地解题工具，它能使复杂难懂的数学题解题思路变得清晰而又明朗。此外，它还能能启迪学生从多角度、多向思维解决数学难题，从而培养学生的发散思维。
三、数形结合在教学中的应用
其实，在初中数学教学中，数形结合思想就有了细微的体现：比如，初中有理数大小的比较、函数及其图象、平面几何问题、数据统计等问题。然而，数形结合思想最集中的体现应该是在高中数学教学中，其中的许多知识点都与数形结合思想息息相关，如集合、函数、方程与不等式、三角函数、线性规划、数列、立体几何，尤其是在解析几何的解题运用中起着十分重要的作用。
在此，笔者选取数形结合在函数和解析几何这两个教学知识方面的具体运用辅以案例加以分析。
例如，如图，已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2。有一动直线l∶y=kx m与圆x2 y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）。
（1）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；
（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1·k2是定值吗？证明你的结论。
在这个题目中就充分体现了解析几何的基本思想，即利用数形结合的表现方式将曲线、圆和直线的代数式意义和几何意义连结在一起用题目这个载体展现出来。
四、数形结合意识的培养
1．树立数形结合的意识
鉴于数形结合思想在高中数学中的重要性，教师在教学过程中要适时地向学生灌输数形结合的解题思路，让学生自觉树立数形结合的意识。此外，教师在题目的讲解中可以选取一些将数形结合思想体现地很明显并展现其优势的案例，借以引导学生对数形结合思想加以重视。
2．注重数形结合的训练
在教学中，学生是起主体作用的群体。所以仅靠教师的灌输所起的作用是十分有限的，必须要让学生将数形结合思想落实到实处，才能让数形结合思想得到发挥。因此，教师应鼓励学生多多利用数形结合思想来进行解题训练，进而强化其功效。
总之，为了提高学生的数学解题思维能力，全面完善学生的素质教育，我们应该更加重视对数形结合的研究和运用。教师要在课堂教学中渗透数形结合的解题思想，使学生在解题过程中打开思路、拓展发散思维。
一、设计多元化及开放性的作业
为适应学生的个体差异，教学中教师必须从多角度考虑教学中所遇到的各种问题。学生是各异的，问题也是多样的，这就决定了在教师做作业设计时，应当采取多元化的思路，进行多元的作业训练安排，发散学生的学习思维，引导学生灵活地思考问题。这样的作业设计不仅是多元化的，更是开放性的，它应该能够拓展学生的知识广度，加强学生学习与思维的深度。新教材在内容上增加了了许多阅读材料，也编排了选学内容。这对于开阔学生的视野，丰富学生的知识储备，具有积极的促进作用。与此相适应，教师在作业的设计上，也应该多加入一些拓展性、发散性。通过多元化和开放性的作业训练，培养学生自觉学习新知识的兴趣，巩固加强学生对知识点的理解程度和熟悉程度。最后，作业的设计也要遵循个体在理解与记忆上的规律，在作业内容具有多元化及开放性的基础上，还应该有目的地安排一些教材上已经学习过的有关知识点的题目，以作业重现的方式，使学生牢固掌握已经学习到的知识。数学是一门抽象性很强的学科，学生只有通过反复练习与重现记忆，才能熟练地掌握并运用。
二、设计富有个性化的作业
高中数学知识灵活性强，且抽象思维明显。所以学生的学习成绩各不相同，区分度明显，优秀的学生与学习困难的学生之间存在着明显的差别。作为教师应该考虑这种差异性。所以，作业的设计要有针对性与层次性，针对不同学生设计不同的作业内容，让不同层次的学生都能够选择到自己这个层面的作业内容，多样化和选择性是新课改理念下的作业原则。
例如，在讲“一元二次不等式”后，布置作业：
第一层：解下列不等式。
（1）4x2-4x＞15；（2）x（x＋2）＜x（3-x）＋1。
第二层：已知不等式kx2-2x 6k＜0（k≠0）。
如果不等式的解集为：｛x|x<-3或x>-2｝，求k的值。
在这里，优秀的学生可以选择做第二层，而学习困难的学生可以选择做第一层。这样的个性化作业和分层布置，使全体学生都有了解答的任务和欲望，增强了学生学习数学的信心。
三、设计具有实践性的作业
实践作业就是教师引导学生通过综合分析与实践活动来完成的作业。它是根据教学内容和学生的兴趣爱好，把生活问题转为数学问题，用数学思维来看待生活问题，用数学方法解决生活问题。
首先，教师要引导学生关注现实生活，联系实际，以学生自身生活和社会生活为基础，通过视察、归纳、总结，让学生在彼此合作中完成作业。
其次，教师要引导学生通过社会实践考察、调查、询问，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，在完成作业过程中体验数学学习带来的乐趣。
最后，对一些抽象的规律性的数学知识，借助必要的实践操作活动，不仅能丰富学生的感知，又是探究、发现规律性数学知识的途径。
例如，在讲“排列组合”时，探究两把软锁子锁两辆自行车的锁法有多少种的问题，引导学生通过对自行车这个熟悉的事物进行操作实践，从中发现规律，激发学生的学习兴趣。
四、设计具有差异性的作业
由于各种因素的影响，不同认知能力与基础知识不同的学生学习水平会不同，存在一定的差距是正常的。教师在教学中要因材施教，正确对待则可缩小这种差距。作业设计同样需要因人而施。可以根据学生发展水平分为几组，分类布置不同的作业。在布置作业时，适量布置一些选做题，让不同层次的学生“量力而行”。
例如，在讲“等差数列”、“等比数列”时，教师可根据不同学生的实际情况，布置不同的作业，基础较好的学生先做比较复杂的题目，如果时间有剩余再做比较简单的题目，而基础不好的学生则先做基础题，如果有时间再钻研比较复杂的题目，这样所有的学生在规定的时间内就都有事可做。
总之，作业是高中数学教学过程中必不可少的环节。适当的数学作业，不仅有利子学生巩固学过的知识、培养数学思维能力、提高解题的速度，而且有利于培养学生的创新能力，还便于教师了解学生的学习情况，进而有针对性地安排教学内容。所以，完善作业的设计对于提高数学教学效率有着重要的意义。
数形结合在数学解题中的应用
河北青县一中卜月芹
数学课程标准提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。数形结合是高中数学解题的一种重要解题思想。在数学教学过程中，教师适当培养学生数形结合的解题思路，能有效提高学生的解题能力。
一、数形结合的概念
何谓数形结合，数形结合就是通过数学中“数”和“形”这两个基本概念的相互化来帮助分析和解决数学题目，它是目前被广泛使用的一种科学的思想解题方法。“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休”，这是著名数学家华罗庚在一首诗中间接指出的数学解题思想，意思就是说数和形都存在着其缺陷性，只有当两者有效地结合在一起时才能发挥它们的最大功效。因此，如何有效地将数、形结合起来，从而起到良好的解题效果，是我们目前必须关注的现实问题。
二、数形结合的意义
1．数形结合有利于降低解题的思维难度，使抽象的题目直观形象化
我们知道，数学语言是一种特殊的语言符号，它是一种复杂而极具理性思维难度的独特语言，而图表、图象则是一种形象视觉的表征。因此，数形结合思想的巧妙使用，能够消解数学语言的复杂度，同时降低其逻辑思维难度，对于学生的解题运用有着十分重要的作用。此外，图表、图象的表征性能以“形”激情，从而激发学生学习数学知识的热情和探索数学奥秘的欲望。 2．数形结合能培养学生的空间立体感，从而有效促进由形象思维到抽象思维的过渡
数形结合的一大特色就是“以数想形”，学生在解题过程中一接触到数学代数式，就能自然而然地在脑海中用空间立体图象准确地建构出来，这对于将学生从基础的形象思维过渡到创造性的抽象思维有着很大的促进作用。反之，“以形助数”也能够利用直观的表征图象来使复杂难懂的代数式子变得形象而易懂，即通过形象思维的建构来促进逻辑思维的发展。
3．数形结合能有效启迪和明朗解题的思路
实践证明，数形结合是一种十分有效地解题工具，它能使复杂难懂的数学题解题思路变得清晰而又明朗。此外，它还能能启迪学生从多角度、多向思维解决数学难题，从而培养学生的发散思维。
三、数形结合在教学中的应用
其实，在初中数学教学中，数形结合思想就有了细微的体现：比如，初中有理数大小的比较、函数及其图象、平面几何问题、数据统计等问题。然而，数形结合思想最集中的体现应该是在高中数学教学中，其中的许多知识点都与数形结合思想息息相关，如集合、函数、方程与不等式、三角函数、线性规划、数列、立体几何，尤其是在解析几何的解题运用中起着十分重要的作用。
在此，笔者选取数形结合在函数和解析几何这两个教学知识方面的具体运用辅以案例加以分析。
例如，如图，已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2。有一动直线l∶y=kx m与圆x2 y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）。
（1）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；
（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1·k2是定值吗？证明你的结论。
在这个题目中就充分体现了解析几何的基本思想，即利用数形结合的表现方式将曲线、圆和直线的代数式意义和几何意义连结在一起用题目这个载体展现出来。
四、数形结合意识的培养
1．树立数形结合的意识
鉴于数形结合思想在高中数学中的重要性，教师在教学过程中要适时地向学生灌输数形结合的解题思路，让学生自觉树立数形结合的意识。此外，教师在题目的讲解中可以选取一些将数形结合思想体现地很明显并展现其优势的案例，借以引导学生对数形结合思想加以重视。
2．注重数形结合的训练
在教学中，学生是起主体作用的群体。所以仅靠教师的灌输所起的作用是十分有限的，必须要让学生将数形结合思想落实到实处，才能让数形结合思想得到发挥。因此，教师应鼓励学生多多利用数形结合思想来进行解题训练，进而强化其功效。
总之，为了提高学生的数学解题思维能力，全面完善学生的素质教育，我们应该更加重视对数形结合的研究和运用。教师要在课堂教学中渗透数形结合的解题思想，使学生在解题过程中打开思路、拓展发散思维。