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【关键词】习题课 变式教学 解题能力
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）07B-0058-02
一、问题的提出
数学习题课是让学生训练解题技能技巧，提高信息辨别能力，发展思维，达到对知识的理解、巩固和运用的重要课型。以往的习题课一般采用的教学流程是：1.复习引入，出示典型题；2.学生探究，概括方法；3.分层训练，巩固方法；4.拓展延伸，总结升华。这样的程序是合理的，但往往在第2、第3环节，学生参与探究的积极性不够高，练习不够主动。经过反思教学及调查了解，发现其原因在于一些典型题让学生有“陈旧感”，探究兴趣不大；练习中教师就题论题，一味依靠机械训练、“题海战术”，因而无法提高学生的解题能力。如何解决这个问题？如何在习题课中因势利导，把学生的学习主动性和积极性充分调动起来，真正发挥习题课的作用呢？
二、解决的策略
变式教学是解决上述问题的一个有效途径。著名数学家波利亚说过：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”教师应注重对典型题的挖掘，构造各种变式题，让学生在习题的变换中，寻求以不变应万变的解题方法，培养学生思维的灵活性，使学生学会触类旁通、举一反三，提高解题能力。
三、策略的实施
1.精选教材习题，通过变式让学生耳目一新，激发学习兴趣
教学中，教师要有变“教教材”为“用教材教”的意识，对教材中的某些问题进行合理开发，提出变式，通过优化整合，让教材中的习题以新的面貌呈现给学生，促使学生的学习由“重结论轻过程”转向“过程与结论并重”，培养学生良好的思维品质，实现教师更有效地教，学生更高效地学。
例如，在人教版《数学》八年级下册四边形的习题课中，课本复习题19的一道典型习题：（如图）四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证AE=EF。
解决本题需添加辅助线，证明两个三角形全等。教学时首先引导学生结合图形，通过分析已知条件和要证明的结论，让学生学会添加辅助线。
为了激发学生进一步探索的欲望，可将问题中的条件、结论、图形等作适当变式，引导学生对问题进行多角度、多方位、多层次的讨论和思考。
变式一：（条件不变结论改变）当正方形ABCD的边长为a时，求△AEF的面积。
变式二：（条件改变结论不变）将条件“E是边BC的中点”，改为“点E是边BC上不与B、C两点重合的任意一点”。
变式三：（条件改变，拓展结论）将上述条件中的“点E是边BC上的任意一点（不与B、C两点重合）”中的“边“改为“直线”，其余条件不变，问：结论“AE=EF”成立吗？
变式四：（条件中的图形、角度改变，结论不变）将上述条件中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”，F是△ABC外角的平分线上一点，问：当∠AEF=60°时，结论AE=EF是否还成立？
变式五：（拓展提升）将条件中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AEF=____°时，结论仍然成立。
以上五种变式训练，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律。
2.精选练习中的易错题，通过变式让学生查漏补缺，提高纠错能力
学习典型题后，遇到新情况时，部分学生还是束手无策，出现解题错误。为提高学生的纠错能力，培养学生思维的批判性及严密性，对典型易错题进行变式是很有必要的。
例如在等腰三角形的习题课中，选取等腰三角形的易漏解题进行变式：已知等腰三角形的一内角为50°，求其余两个内角。
变式一：将条件“50°”改为“90°”，问题还有两解吗？
引导学生分析并归纳出条件中的角度在怎样的范围时问题有一解、两解，在比较中理解分类讨论的数学思想方法，减少出错率。接着，给出变式二，让学生将思考方向从三角形内引到三角形外。
变式二：将条件“内角为50°”改为“一个外角为50°”，求其余两个内角。
变式三：将条件“一个外角为50°”改为“一个外角为110°”，求其余两个内角。问题有一解还是两解？
这样利用“易错题”作为变式题来帮助学生养成认真、严谨地思考问题的习惯，能让学生解题时既不“漏解”，又不“增解”，培养学生缜密、全面分析问题的能力。
3.鼓励学生编制变式题，培养学生的创新能力
在习题课，特别是应用题、数学概念及简便计算等内容的习题课中，教师应尽可能给学生多些时间及空间，指导学生模仿典型题来编变式题，使学生进一步明确典型题的题型结构特征。编制的过程，是学生进行思考、整合所学知识和方法的过程，也是有助于学生开展合作学习的过程。它不但能巩固学生的知识及解题方法，而且能发展学生的数学表达能力。
例如，在人教版《数学》七年级下册“二元一次方程组”的习题课中，为了让学生熟练地用二元一次方程组解决实际问题，进一步感受方程模型的重要性，教师先给出教材复习题8的一道习题：（我国古代问题）有大小两种盛酒的桶，已经知道5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛。1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？然后引导学生模仿习题编制变式题（其间提醒学生编制变式题要符合实际意义），并采用竞赛的形式让学生将编制好的变式题交换到其他小组去解答。学生们热情高涨，开展小组合作学习，开动脑筋，群策群力，编制出许多变式题。如：
变式一：（改变题目的背景）小钰和小玲一起在文具店买文具，小钰买了3本笔记本、4支彩色笔，共花了15元；小玲买了2本笔记本、5支彩色笔，共花了13.5元，你能算出1本笔记本、1支彩色笔各多少元吗？
这个问题背景是学生熟悉的事物和情景，贴近学生的生活，使问题变得亲近，更能激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，提升学生参与的积极性。
变式二：（改变问题的问法）小诚也在该文具店买了4本笔记本、2支彩色笔，共花了多少元？
这样的变式将原来单一的问题进一步加深，拓展了学生的思维空间。
四、实践成效
通过两年来在习题课中加强变式训练，习题课的课堂气氛变得活跃了，学生的学习积极性、学习效率，以及学生的自信心、数学表达能力和逻辑思维能力都得到不同程度的提高。合作编制变式题，让学生学会关注身边的数学问题，意识到生活中数学无处不在。
同时，通过引导学生思考各种情况的解题方法，拓宽了学生的思路，培养了学生思维的灵活性和变通性。学生思考问题的习惯也有了变化，以前是解题时机械模仿较多，现在是独立思考逐渐增多。学生的数学素质在不断提高。
五、反思与讨论
1.对于一些难度较大的问题，对其进行变式要做好必要的铺垫，使解题能水到渠成。否则，在难题上拓展变式，会形成“曲高和寡”的状态，难以让学生保持活跃的思维状态和学习的积极性。
2.变式教学能通过一个问题解决一类问题，有效地提升学生的解题能力。教师要加大备课投入，不断提高教学水平，用教师的创造性思维去激活学生的创新思维。学生要成长，教师也要成长。面对新课程，教师在如何吃透教材，挖掘教材知识背后所蕴涵的思维方式、方法，改进教法等方面，还需要进一步努力。
（责编 王学军）
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）07B-0058-02
一、问题的提出
数学习题课是让学生训练解题技能技巧，提高信息辨别能力，发展思维，达到对知识的理解、巩固和运用的重要课型。以往的习题课一般采用的教学流程是：1.复习引入，出示典型题；2.学生探究，概括方法；3.分层训练，巩固方法；4.拓展延伸，总结升华。这样的程序是合理的，但往往在第2、第3环节，学生参与探究的积极性不够高，练习不够主动。经过反思教学及调查了解，发现其原因在于一些典型题让学生有“陈旧感”，探究兴趣不大；练习中教师就题论题，一味依靠机械训练、“题海战术”，因而无法提高学生的解题能力。如何解决这个问题？如何在习题课中因势利导，把学生的学习主动性和积极性充分调动起来，真正发挥习题课的作用呢？
二、解决的策略
变式教学是解决上述问题的一个有效途径。著名数学家波利亚说过：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”教师应注重对典型题的挖掘，构造各种变式题，让学生在习题的变换中，寻求以不变应万变的解题方法，培养学生思维的灵活性，使学生学会触类旁通、举一反三，提高解题能力。
三、策略的实施
1.精选教材习题，通过变式让学生耳目一新，激发学习兴趣
教学中，教师要有变“教教材”为“用教材教”的意识，对教材中的某些问题进行合理开发，提出变式，通过优化整合，让教材中的习题以新的面貌呈现给学生，促使学生的学习由“重结论轻过程”转向“过程与结论并重”，培养学生良好的思维品质，实现教师更有效地教，学生更高效地学。
例如，在人教版《数学》八年级下册四边形的习题课中，课本复习题19的一道典型习题：（如图）四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证AE=EF。
解决本题需添加辅助线，证明两个三角形全等。教学时首先引导学生结合图形，通过分析已知条件和要证明的结论，让学生学会添加辅助线。
为了激发学生进一步探索的欲望，可将问题中的条件、结论、图形等作适当变式，引导学生对问题进行多角度、多方位、多层次的讨论和思考。
变式一：（条件不变结论改变）当正方形ABCD的边长为a时，求△AEF的面积。
变式二：（条件改变结论不变）将条件“E是边BC的中点”，改为“点E是边BC上不与B、C两点重合的任意一点”。
变式三：（条件改变，拓展结论）将上述条件中的“点E是边BC上的任意一点（不与B、C两点重合）”中的“边“改为“直线”，其余条件不变，问：结论“AE=EF”成立吗？
变式四：（条件中的图形、角度改变，结论不变）将上述条件中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”，F是△ABC外角的平分线上一点，问：当∠AEF=60°时，结论AE=EF是否还成立？
变式五：（拓展提升）将条件中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AEF=____°时，结论仍然成立。
以上五种变式训练，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律。
2.精选练习中的易错题，通过变式让学生查漏补缺，提高纠错能力
学习典型题后，遇到新情况时，部分学生还是束手无策，出现解题错误。为提高学生的纠错能力，培养学生思维的批判性及严密性，对典型易错题进行变式是很有必要的。
例如在等腰三角形的习题课中，选取等腰三角形的易漏解题进行变式：已知等腰三角形的一内角为50°，求其余两个内角。
变式一：将条件“50°”改为“90°”，问题还有两解吗？
引导学生分析并归纳出条件中的角度在怎样的范围时问题有一解、两解，在比较中理解分类讨论的数学思想方法，减少出错率。接着，给出变式二，让学生将思考方向从三角形内引到三角形外。
变式二：将条件“内角为50°”改为“一个外角为50°”，求其余两个内角。
变式三：将条件“一个外角为50°”改为“一个外角为110°”，求其余两个内角。问题有一解还是两解？
这样利用“易错题”作为变式题来帮助学生养成认真、严谨地思考问题的习惯，能让学生解题时既不“漏解”，又不“增解”，培养学生缜密、全面分析问题的能力。
3.鼓励学生编制变式题，培养学生的创新能力
在习题课，特别是应用题、数学概念及简便计算等内容的习题课中，教师应尽可能给学生多些时间及空间，指导学生模仿典型题来编变式题，使学生进一步明确典型题的题型结构特征。编制的过程，是学生进行思考、整合所学知识和方法的过程，也是有助于学生开展合作学习的过程。它不但能巩固学生的知识及解题方法，而且能发展学生的数学表达能力。
例如，在人教版《数学》七年级下册“二元一次方程组”的习题课中，为了让学生熟练地用二元一次方程组解决实际问题，进一步感受方程模型的重要性，教师先给出教材复习题8的一道习题：（我国古代问题）有大小两种盛酒的桶，已经知道5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛。1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？然后引导学生模仿习题编制变式题（其间提醒学生编制变式题要符合实际意义），并采用竞赛的形式让学生将编制好的变式题交换到其他小组去解答。学生们热情高涨，开展小组合作学习，开动脑筋，群策群力，编制出许多变式题。如：
变式一：（改变题目的背景）小钰和小玲一起在文具店买文具，小钰买了3本笔记本、4支彩色笔，共花了15元；小玲买了2本笔记本、5支彩色笔，共花了13.5元，你能算出1本笔记本、1支彩色笔各多少元吗？
这个问题背景是学生熟悉的事物和情景，贴近学生的生活，使问题变得亲近，更能激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，提升学生参与的积极性。
变式二：（改变问题的问法）小诚也在该文具店买了4本笔记本、2支彩色笔，共花了多少元？
这样的变式将原来单一的问题进一步加深，拓展了学生的思维空间。
四、实践成效
通过两年来在习题课中加强变式训练，习题课的课堂气氛变得活跃了，学生的学习积极性、学习效率，以及学生的自信心、数学表达能力和逻辑思维能力都得到不同程度的提高。合作编制变式题，让学生学会关注身边的数学问题，意识到生活中数学无处不在。
同时，通过引导学生思考各种情况的解题方法，拓宽了学生的思路，培养了学生思维的灵活性和变通性。学生思考问题的习惯也有了变化，以前是解题时机械模仿较多，现在是独立思考逐渐增多。学生的数学素质在不断提高。
五、反思与讨论
1.对于一些难度较大的问题，对其进行变式要做好必要的铺垫，使解题能水到渠成。否则，在难题上拓展变式，会形成“曲高和寡”的状态，难以让学生保持活跃的思维状态和学习的积极性。
2.变式教学能通过一个问题解决一类问题，有效地提升学生的解题能力。教师要加大备课投入，不断提高教学水平，用教师的创造性思维去激活学生的创新思维。学生要成长，教师也要成长。面对新课程，教师在如何吃透教材，挖掘教材知识背后所蕴涵的思维方式、方法，改进教法等方面，还需要进一步努力。
（责编 王学军）