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【摘 要】列举了学生数学学习中常见的几个典型错例，并对其进行了深入地分析与思考，努力找寻错误的性质、产生的原因，试途找到内在的合理性，提出对策，让学生在正确与错误的探索中不仅“知其错”，而且“知其所以错”，为学生形成良好思维打下坚实基础。
【关键词】数学；错例；分析；应对策略
在数学学习的过程中，学生时常会出现这样那样的错例。有时我们会发现同一知识，同班同学会出现不同的错误，即使是同一知识，上一届学生的错误这一届的同学依然再现，正所谓“年年岁岁人不同，岁岁年年错相似。”这种现象常常令学生、家长、老师百思不得其解，最后只能用“太马虎、太粗心、不认真”来概括了事，却忽略了“马虎粗心”深处所隐藏的症结。其实学生的很多错例值得教师细细去探索和研究，本文特撷取几个典型错例，去理解错误背后所蕴藏着的故事。
一、“粗心大意”的背后，暗藏“不良习惯”
计算在小学数学教学中占据着十分重要的地位，是学习数学的基础。多年的教学实践，我们总能看到一些学生在做计算题时，总会出现这样或那样的错误。学生一拿到本子后，总是难免要一声叹息或者几声叹息。“这么简单的计算我怎么居然算错了？”，“我怎么草稿纸上算对了，本子上却写错了？”……很多同学都把错误归结为不小心，粗心。我不禁要问：“粗心大意”真的是本质原因吗？“粗心大意”又是什么原因造成的呢？
错例再现：
2.6 × 4.5 =
2. 6
× 4. 5
1 3 0
1 0 4
1 1 7 0
把脉问诊：据研究表明，对于绝大多数学生来说，学习的好坏与学习习惯有着直接的联系。良好的学习习惯对学生至关重要，但由于学生注意力的不稳定性及其分配和转移的能力尚未发展成熟，因此，在被要求在同一时间把注意力分配到两个对象时，他们往往会出现顾此失彼、丢三落四的情况。再加上计算本身外显形式简单，很容易造成学生感知粗略、不够具体的结果。同时，学生在看题、读题、审题、演算过程中又急于求成，因而往往会将题目中相似、相近的数据符号抄错，如果没能及时检查，就会造成计算错误。本题，学生的错误就是在计算过程中忘记在得数上添加小数点，同时也忘记等号后面写上得数。
诊治处方：用估算方法对计算结果进行快速“定性”，是提高计算能力的重要途径。教师要善于捕捉时机，把估算渗透到学生平时的计算中。在进行计算时，可以运用估算对计算结果做预先定位，确定计算结果的取值范围。通过计算前的估算和计算后的检查，可以避免由于粗心大意造成的错误。本题在计算前，可以这样估：若整数部分去尾，相乘的积是8；若四舍五入后，相乘的积是15，所以积的取值范围应在8和15之间，这样就可以避免出现错误。
二、“融会贯通”的背后，暗藏“理解不透彻”
如果说计算教学是支撑小学数学的最基本框架，那么“简便计算”就是小学数学教学中的一部“重头戏”，它被视作对学生进行思维训练的一种重要手段。教过简便计算的老师，都遇到过这样的问题：上课时，几乎所有的学生都能很好地理解每一条运算定律，并且还能举一反三，看上去好像已经融会贯通了，可等到做作业时，就经常把这些运算定律混淆起来使用，以至于教师只能重新对这些运算定律进行梳理。常见错误有以下两类：
1. 知觉性错误
错例再现：
44×25
=（11×4）×25
=（11×25）×（4×25）
=275×100
=27500
把脉问诊：由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生容易造成知觉上的错误，误把乘法结合律当乘法分配律运用，这说明学生对这两条运算定律的理解还不够透彻。乘法分配律是乘法对于两个数的和或差的分配律，而乘法结合律是几个数连乘时，可以交换运算顺序，像上题三个数连乘应选用乘法交换律或乘法结合律，而不应选用乘法分配律。
诊治处方：面对学生这类错误，教师不能简单地从形式入手，告诉学生括号里是乘号时不能运用乘法分配律，只能当括号里是加法或减法时才能用乘法分配律。而应从乘法结合律和乘法分配律的意义入手，可以结合具体的情境让学生加以理解，并在相互对比中掌握两个定律的数学意义。可以采用两种不同的思路组织简算，以区别两种定律的不同之处及运用效果。
44×25
=（11×4）×25
=11×（4×25）
=11×100
=1100
44×25
=（40 4）×25
=40×25 4×25
=1000 100
=1100
这种“对比迁移”教学方式的运用，可对比呈现两种简便计算的外在形式和内在规律，带给学生数学美的享受，从而自发产生一种强烈的内在需求，加深对简便计算的主观认识与切身体验。
2. 干扰性错误
错例再现：
378-36 64
=378-（36 64）
=378-100
=278
把脉问诊：这种现象在那些学习有困难，思维不够灵活的学生中最常见。他们平时听课一知半解，断章取义，这会儿一看到有特殊数据便认为可以“凑整”，就把注意力集中到凑整上，全然不顾计算法则。“凑整”固然能使计算简便，但“凑整”必须建立在正确运用运算定律的基础上，不能盲目地追求“凑整”，否则就会为“凑整”而“凑整”，造成知识学习的机械性。再细细琢磨这一题，不难发现其实是由于学生的思维定势引起的干扰性错误。定势的思维是一种“惯性”，是一定心理活动所形成的准备状态。由于受多次重复练习某一类习题的影响，使学生先入为主，计算中学生常常要用习惯的方法：先把后两个数先相加再去解答，殊不知这是两类性质完全不同的问题，从而导致计算出错。 诊治处方：要解决这一问题，首先要培养学生的简算意识和灵活计算的能力，切忌让学生形成简便计算就是“凑整”，就是仅限于运用运算定律的错误思想，应要求学生建立“怎样计算简便就怎样算”的观念。因此，在教学简便计算时，切忌只呈现能简便的习题，而应把能简便与不能简便的习题同时呈现，让学生在计算中有比较，有些习题通过运用运算定律能使计算简便，而有些则不能，甚至用了运算定律反而使计算变得复杂。另一方面还应培养学生认真、负责的学习态度，从小养成用估算或按运算顺序再算一遍的方法进行验算的良好习惯。
三、“数字接龙”的背后，暗藏“思维受阻碍”
心理学研究表明，小学生的知觉常常表现的比较随意，不能看出事物的主要方面或特征，以及事物各个部分之间的内在联系。不能很好地控制自己的知觉，对感知的对象分析综合水平差。学生由于认知水平有限，不同年龄的学生在不同阶段会出现一些由于认知原因造成对知识的模糊理解，甚至是扭曲理解。
错例再现：
（ 9 ） - （ 4 ）
=（ 5 ） - （ 2 ）
=（ 3 ） - （ 2 ）= 1
（ 20 ） - 27 = 47
把脉问诊：对于学生的错误，我们细细研究，就不难发现，学生并不是不会计算这些题目，而是由于题目的呈现发生了变化，而这种变化对于低年级学生来讲有一定的困难。低年级学生看到题目，最先进入他们视线的就是那些运算符号，他们不会很有意识地去分析题目到底该怎么去读、去看，他们潜意识里认为结果总是在最后读的。因此他们根据自己所见的运算符号与数据进行计算。再者他们对于这样的排列形式并不陌生，他们很快联想到了语文中的词语接龙，而后就有了上述的这些问题，说到底也是因为对所学知识的认知模糊，以致思维受阻碍而成的。
诊治处方：人们都说先入为主，对于学习也是一样的道理。新知第一次呈现在学生面前，便会给学生留下深刻的印象。因此作为教师在新授时，要有针对性的对部分容易混淆的知识进行分类比较，加深学生的理解。上述例子在教学“等号的认识”时，就可以通过不同的形式让学生从多种角度理解等号的含义，不要只停留在把等号放在后面这种单一的形式，这样就能减少类似的错误发生，尤其是容易混淆概念的教学，更是要通过精心设计，用不同的形式呈现在学生面前，想方设法在学生原有的认知水平上留下深刻的印象，弥补学生的认知差异。为此，对老师也提出要求，教知识也要教得灵活。
有人说，错题就像放在太阳光下的多棱镜，它能折射出学生在知识、方法、技能等方面的不足，亦能折出教师在教学中存在的问题，它是一种可利用的教学资源。美国教育家杜威指出：“真正思考的人从自己的错误中吸取知识比从自己成就中吸取的知识更多，错误与探索相联姻，相交合，才能孕育出真理。”假若我们能以积极的心态去帮助学生找出错题，走进错题，分析错误背后的本质原因，并能有针对性地解决错题所反映的问题，合理地开发错题资源，就可使错误尽量减少，甚至消失，真正做到错题润泽课堂，从而打开有效教学的另一扇窗。
■参考文献
[1]游丽琴.低年级学生看图列式题的错误现状及若干策略[J].南京：科学大众（科学教育），2013（02）.
[2]陈久栋.低年级学生计算错误的分析与解决对策[J].北京：中小学数学（小学版），2011（12）.
[3]胡国灿.唯有找准病根方能对症下药——小学生计算错误的心理成因和对策[J].石家庄：教育实践与研究，2012（03）.
[4]傅蒋.小学生简便计算的错误成因与矫正策略[J].太原：教学与管理，2012（03）.
【关键词】数学；错例；分析；应对策略
在数学学习的过程中，学生时常会出现这样那样的错例。有时我们会发现同一知识，同班同学会出现不同的错误，即使是同一知识，上一届学生的错误这一届的同学依然再现，正所谓“年年岁岁人不同，岁岁年年错相似。”这种现象常常令学生、家长、老师百思不得其解，最后只能用“太马虎、太粗心、不认真”来概括了事，却忽略了“马虎粗心”深处所隐藏的症结。其实学生的很多错例值得教师细细去探索和研究，本文特撷取几个典型错例，去理解错误背后所蕴藏着的故事。
一、“粗心大意”的背后，暗藏“不良习惯”
计算在小学数学教学中占据着十分重要的地位，是学习数学的基础。多年的教学实践，我们总能看到一些学生在做计算题时，总会出现这样或那样的错误。学生一拿到本子后，总是难免要一声叹息或者几声叹息。“这么简单的计算我怎么居然算错了？”，“我怎么草稿纸上算对了，本子上却写错了？”……很多同学都把错误归结为不小心，粗心。我不禁要问：“粗心大意”真的是本质原因吗？“粗心大意”又是什么原因造成的呢？
错例再现：
2.6 × 4.5 =
2. 6
× 4. 5
1 3 0
1 0 4
1 1 7 0
把脉问诊：据研究表明，对于绝大多数学生来说，学习的好坏与学习习惯有着直接的联系。良好的学习习惯对学生至关重要，但由于学生注意力的不稳定性及其分配和转移的能力尚未发展成熟，因此，在被要求在同一时间把注意力分配到两个对象时，他们往往会出现顾此失彼、丢三落四的情况。再加上计算本身外显形式简单，很容易造成学生感知粗略、不够具体的结果。同时，学生在看题、读题、审题、演算过程中又急于求成，因而往往会将题目中相似、相近的数据符号抄错，如果没能及时检查，就会造成计算错误。本题，学生的错误就是在计算过程中忘记在得数上添加小数点，同时也忘记等号后面写上得数。
诊治处方：用估算方法对计算结果进行快速“定性”，是提高计算能力的重要途径。教师要善于捕捉时机，把估算渗透到学生平时的计算中。在进行计算时，可以运用估算对计算结果做预先定位，确定计算结果的取值范围。通过计算前的估算和计算后的检查，可以避免由于粗心大意造成的错误。本题在计算前，可以这样估：若整数部分去尾，相乘的积是8；若四舍五入后，相乘的积是15，所以积的取值范围应在8和15之间，这样就可以避免出现错误。
二、“融会贯通”的背后，暗藏“理解不透彻”
如果说计算教学是支撑小学数学的最基本框架，那么“简便计算”就是小学数学教学中的一部“重头戏”，它被视作对学生进行思维训练的一种重要手段。教过简便计算的老师，都遇到过这样的问题：上课时，几乎所有的学生都能很好地理解每一条运算定律，并且还能举一反三，看上去好像已经融会贯通了，可等到做作业时，就经常把这些运算定律混淆起来使用，以至于教师只能重新对这些运算定律进行梳理。常见错误有以下两类：
1. 知觉性错误
错例再现：
44×25
=（11×4）×25
=（11×25）×（4×25）
=275×100
=27500
把脉问诊：由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生容易造成知觉上的错误，误把乘法结合律当乘法分配律运用，这说明学生对这两条运算定律的理解还不够透彻。乘法分配律是乘法对于两个数的和或差的分配律，而乘法结合律是几个数连乘时，可以交换运算顺序，像上题三个数连乘应选用乘法交换律或乘法结合律，而不应选用乘法分配律。
诊治处方：面对学生这类错误，教师不能简单地从形式入手，告诉学生括号里是乘号时不能运用乘法分配律，只能当括号里是加法或减法时才能用乘法分配律。而应从乘法结合律和乘法分配律的意义入手，可以结合具体的情境让学生加以理解，并在相互对比中掌握两个定律的数学意义。可以采用两种不同的思路组织简算，以区别两种定律的不同之处及运用效果。
44×25
=（11×4）×25
=11×（4×25）
=11×100
=1100
44×25
=（40 4）×25
=40×25 4×25
=1000 100
=1100
这种“对比迁移”教学方式的运用，可对比呈现两种简便计算的外在形式和内在规律，带给学生数学美的享受，从而自发产生一种强烈的内在需求，加深对简便计算的主观认识与切身体验。
2. 干扰性错误
错例再现：
378-36 64
=378-（36 64）
=378-100
=278
把脉问诊：这种现象在那些学习有困难，思维不够灵活的学生中最常见。他们平时听课一知半解，断章取义，这会儿一看到有特殊数据便认为可以“凑整”，就把注意力集中到凑整上，全然不顾计算法则。“凑整”固然能使计算简便，但“凑整”必须建立在正确运用运算定律的基础上，不能盲目地追求“凑整”，否则就会为“凑整”而“凑整”，造成知识学习的机械性。再细细琢磨这一题，不难发现其实是由于学生的思维定势引起的干扰性错误。定势的思维是一种“惯性”，是一定心理活动所形成的准备状态。由于受多次重复练习某一类习题的影响，使学生先入为主，计算中学生常常要用习惯的方法：先把后两个数先相加再去解答，殊不知这是两类性质完全不同的问题，从而导致计算出错。 诊治处方：要解决这一问题，首先要培养学生的简算意识和灵活计算的能力，切忌让学生形成简便计算就是“凑整”，就是仅限于运用运算定律的错误思想，应要求学生建立“怎样计算简便就怎样算”的观念。因此，在教学简便计算时，切忌只呈现能简便的习题，而应把能简便与不能简便的习题同时呈现，让学生在计算中有比较，有些习题通过运用运算定律能使计算简便，而有些则不能，甚至用了运算定律反而使计算变得复杂。另一方面还应培养学生认真、负责的学习态度，从小养成用估算或按运算顺序再算一遍的方法进行验算的良好习惯。
三、“数字接龙”的背后，暗藏“思维受阻碍”
心理学研究表明，小学生的知觉常常表现的比较随意，不能看出事物的主要方面或特征，以及事物各个部分之间的内在联系。不能很好地控制自己的知觉，对感知的对象分析综合水平差。学生由于认知水平有限，不同年龄的学生在不同阶段会出现一些由于认知原因造成对知识的模糊理解，甚至是扭曲理解。
错例再现：
（ 9 ） - （ 4 ）
=（ 5 ） - （ 2 ）
=（ 3 ） - （ 2 ）= 1
（ 20 ） - 27 = 47
把脉问诊：对于学生的错误，我们细细研究，就不难发现，学生并不是不会计算这些题目，而是由于题目的呈现发生了变化，而这种变化对于低年级学生来讲有一定的困难。低年级学生看到题目，最先进入他们视线的就是那些运算符号，他们不会很有意识地去分析题目到底该怎么去读、去看，他们潜意识里认为结果总是在最后读的。因此他们根据自己所见的运算符号与数据进行计算。再者他们对于这样的排列形式并不陌生，他们很快联想到了语文中的词语接龙，而后就有了上述的这些问题，说到底也是因为对所学知识的认知模糊，以致思维受阻碍而成的。
诊治处方：人们都说先入为主，对于学习也是一样的道理。新知第一次呈现在学生面前，便会给学生留下深刻的印象。因此作为教师在新授时，要有针对性的对部分容易混淆的知识进行分类比较，加深学生的理解。上述例子在教学“等号的认识”时，就可以通过不同的形式让学生从多种角度理解等号的含义，不要只停留在把等号放在后面这种单一的形式，这样就能减少类似的错误发生，尤其是容易混淆概念的教学，更是要通过精心设计，用不同的形式呈现在学生面前，想方设法在学生原有的认知水平上留下深刻的印象，弥补学生的认知差异。为此，对老师也提出要求，教知识也要教得灵活。
有人说，错题就像放在太阳光下的多棱镜，它能折射出学生在知识、方法、技能等方面的不足，亦能折出教师在教学中存在的问题，它是一种可利用的教学资源。美国教育家杜威指出：“真正思考的人从自己的错误中吸取知识比从自己成就中吸取的知识更多，错误与探索相联姻，相交合，才能孕育出真理。”假若我们能以积极的心态去帮助学生找出错题，走进错题，分析错误背后的本质原因，并能有针对性地解决错题所反映的问题，合理地开发错题资源，就可使错误尽量减少，甚至消失，真正做到错题润泽课堂，从而打开有效教学的另一扇窗。
■参考文献
[1]游丽琴.低年级学生看图列式题的错误现状及若干策略[J].南京：科学大众（科学教育），2013（02）.
[2]陈久栋.低年级学生计算错误的分析与解决对策[J].北京：中小学数学（小学版），2011（12）.
[3]胡国灿.唯有找准病根方能对症下药——小学生计算错误的心理成因和对策[J].石家庄：教育实践与研究，2012（03）.
[4]傅蒋.小学生简便计算的错误成因与矫正策略[J].太原：教学与管理，2012（03）.