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周期函数的判定是高中数学中常遇到的问题，又是历年高考的重点，近年来，在高考中更是常常利用抽象函数对其进行考察，但很多学生对其知之甚少或理解不透，考生得分率较低。为了使学生能更好地掌握周期函数，掌握求函数的周期及运用函数的周期性解决一些简单的数学问题。本文就函数周期性的判定作些探讨，仅供参考。
一、周期函数的性质
（1）若T（T≠0）是f（x） 的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（T≠0）是f（x） 的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x） 的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x） 的两个周期，且是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是双方无界的集合。
二、周期函的判定
判定1三角函数作为典型的周期函数，判定周期可用公式。
函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的最小正周期分别为2π，2π，π。
三角函数y=sin（ωx+φ），y=cos（ωx+φ），y=tan（ωx+φ）也都是周期函数，最小正周期分别为T= ，T= ，T=。
判定2（1）若函数满足f（x+a）=-f（x），则T=2a 。
证明∵ f（x+2a）=f [（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x），
∴ T=2a 。
（2）若函数满足f（x+a）= ，则T=2a 。
证明∵ f（x+2a）=f [（x+a）+a]
= = =f（x），
∴ T=2a。
判定3若函数满足f（x+a）=f（x+b），则T=|b-a| 。
证明：令x′=x+a，则x=x′-a，
代入f（x+a）=f（x+b）得f（x′）=f（x′-a+b）=f [x′+（b-a）]。
由周期函数的定义可得：函数f（x）为周期函数，周期为b-a。
判定4 若函数y=f（x）为偶函数，且关于x=a对称，则T=2a 。
证明∵ f（x）关于x=a对称且为偶函数 , ∴ f（x）= f（2a-x）= f（-x）。
令-x=x′，则 f（2a-x′）= f（x′）。
由周期函数的定义可得：函数
y=f（x）为周期函数，2a为周期。
（2）若函数y=f（x）为奇函数，且关于x=a对称，则T=4a 。
证明 ∵ f（x）关于x=a对称且为奇函数,∴ f（x）= f（2a-x）=- f（-x）。
令-x=x′，则 f（2a+x′）=- f（x′）。
再根据判定2的（1）可得：函数
y=f（x）为周期函数，4a为周期。
三、周期函数在高考中的应用
例1 （2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为（）。
A.-1B.0C.1 D.2
解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，又f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故函数f（x）的周期为4，所以f（6）=f（2）=-f（0）=0，答案选B。
例2 定义在R上函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x）， f（7+x）=f（7-x）且f（-5）=2，求f（2005）。
解：由题意可得：f（4+x）=f（2+2+x）=f（2-2-x）=f（x），
∴ f（14+x）=f（7+7+x）=f（7-7-x）=f（-x）。 ∵ f（x+4）=f（x+14），∴函数y=f（x）是一个周期为10的周期函数，∴ f（2005）=f（200×10+5）=f（4）=f（5-10）=f（-5）=2。
总之，我们在高考中处理周期函数问题时，应该深刻理解周期函数的定义，由定义出发掌握其判定方法，并且要看清判定中式子的特点，结合函数的奇偶性、对称性，灵活掌握其证明方法，且在应用中提高认识，不断提高分析问题和解决问题的能力，那么对于高考中遇到解答周期函数的问题时必能轻松解决。◆（作者单位：江西省南昌县莲塘第一中学）
□责任编辑：周瑜芽
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
一、周期函数的性质
（1）若T（T≠0）是f（x） 的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（T≠0）是f（x） 的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x） 的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x） 的两个周期，且是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是双方无界的集合。
二、周期函的判定
判定1三角函数作为典型的周期函数，判定周期可用公式。
函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的最小正周期分别为2π，2π，π。
三角函数y=sin（ωx+φ），y=cos（ωx+φ），y=tan（ωx+φ）也都是周期函数，最小正周期分别为T= ，T= ，T=。
判定2（1）若函数满足f（x+a）=-f（x），则T=2a 。
证明∵ f（x+2a）=f [（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x），
∴ T=2a 。
（2）若函数满足f（x+a）= ，则T=2a 。
证明∵ f（x+2a）=f [（x+a）+a]
= = =f（x），
∴ T=2a。
判定3若函数满足f（x+a）=f（x+b），则T=|b-a| 。
证明：令x′=x+a，则x=x′-a，
代入f（x+a）=f（x+b）得f（x′）=f（x′-a+b）=f [x′+（b-a）]。
由周期函数的定义可得：函数f（x）为周期函数，周期为b-a。
判定4 若函数y=f（x）为偶函数，且关于x=a对称，则T=2a 。
证明∵ f（x）关于x=a对称且为偶函数 , ∴ f（x）= f（2a-x）= f（-x）。
令-x=x′，则 f（2a-x′）= f（x′）。
由周期函数的定义可得：函数
y=f（x）为周期函数，2a为周期。
（2）若函数y=f（x）为奇函数，且关于x=a对称，则T=4a 。
证明 ∵ f（x）关于x=a对称且为奇函数,∴ f（x）= f（2a-x）=- f（-x）。
令-x=x′，则 f（2a+x′）=- f（x′）。
再根据判定2的（1）可得：函数
y=f（x）为周期函数，4a为周期。
三、周期函数在高考中的应用
例1 （2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为（）。
A.-1B.0C.1 D.2
解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，又f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故函数f（x）的周期为4，所以f（6）=f（2）=-f（0）=0，答案选B。
例2 定义在R上函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x）， f（7+x）=f（7-x）且f（-5）=2，求f（2005）。
解：由题意可得：f（4+x）=f（2+2+x）=f（2-2-x）=f（x），
∴ f（14+x）=f（7+7+x）=f（7-7-x）=f（-x）。 ∵ f（x+4）=f（x+14），∴函数y=f（x）是一个周期为10的周期函数，∴ f（2005）=f（200×10+5）=f（4）=f（5-10）=f（-5）=2。
总之，我们在高考中处理周期函数问题时，应该深刻理解周期函数的定义，由定义出发掌握其判定方法，并且要看清判定中式子的特点，结合函数的奇偶性、对称性，灵活掌握其证明方法，且在应用中提高认识，不断提高分析问题和解决问题的能力，那么对于高考中遇到解答周期函数的问题时必能轻松解决。◆（作者单位：江西省南昌县莲塘第一中学）
□责任编辑：周瑜芽
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