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在学习振动和波的知识的过程中，我们经常会遇到多解问题。可在求解的过程中有些同学常常会漏解，这正是振动和波这部分内容的难点。振动中产生多解问题主要是因为振动具有周期性，振动物体达到某一位置可能有不同的时刻；在波动中，波形的周期性变化和同相质点振动的一致性是产生多解的主要原因。基于上述原因，我们在分析问题时，一定要多角度、全方位分析。例如，质点从平衡位置开始振动，则振动方向有两种可能（正向或负向）；给出两时刻的波形则有可能是波形传播n个波长后，又传播题给相应两点之间的距离；只告诉波速的大小，则应考虑两种传播方向等。振动和波的多解问题，归纳起来主要有以下四种类型，下面我们分别举例探究，希望对同学们能够有所启迪。
一、振动中的时间多解问题
例1 地面上有一固定的圆弧形光滑槽，其弧长远小于圆的曲率半径R，槽边缘有一小球A，圆弧最低点正上方h高处有一小球B（如图1，两球半径均可忽略不计），同时由静止释放两球，不计空气阻力，若使两小球恰好在圆弧最低点相遇，h和R应满足什么关系？
解析 因为?垲R，所以A球在圆弧面上的往复运动具有等时性，是一种等效单摆。其圆弧半径R即为等效单摆的摆长。故A球运动到圆弧最低点所用时间tA为：
tA=+（n=0，1，2，…），
又∵T=2π，
B球自由下落到圆弧最低点所需时间tB为：tB=，
因为两球恰好在圆弧最低点相遇，满足tA=tB，则h=（2n+1）2R（n=0，1，2，…）。
点评 充分注意到振动的周期重复性是求解本题的关键。
二、波长多解问题
例2 一列简谐横波水平向右传播，A、B是沿波的传播方向上的两点。某时刻A处于正向最大位移处，B恰好在平衡位置，如图2。已知A、B两点平衡位置间的距离为70 m，且20 m<λ<80 m，求波长λ。
解析 因B处于平衡状态，振动方向未确定，故应分两种情况讨论。
（1）B向下运动，因波向右传播，可画出此刻可能的波形如图3。由此可将A、B平衡位置间的距离d表示为d=λ+nλ（n=0，1，2，…），
即d=λ+nλ=70 m，可得λ=（m）。
又20 m<λ<80 m，可得 代入λ=，得λ1=40 m，λ2= m。
（2）B向上振动，因波向右传播，可画出此刻可能的波形如图4。由此可将A、B平衡位置间的距离d表示为d=λ′+kλ′（k=0，1，2，…），
即d=λ′+kλ′=70 m，可得λ′=（m）。
又20 m<λ′<80 m，可得 代入λ=，得λ3=56 m，λ4= m，λ5= m。
点评 波形的不确定性和B点振动方向的不确定性导致本题多解。
三、波速多解问题
例3 如图5，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点距离14.0 m，b点在a点的右方。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动。经过1.00 s后，a点的位移为零且向下运动，而b点的位移恰达到负极大，则这列简谐横波的波速可能等于（）。
A.4.67 m/s B.6 m/s C.10 m/s D.14 m/s
解析 由a点的位移达正极大时，b点位移恰为零，可得该波的波长满足：
λ+kλ=14（k=0，1，2，…），
由经过1.00 s，a点的位移变为零且向下运动（也可由b点的运动情况得到），则该波周期满足：T+nT=1.00（k=0，1，2，…），所以波速的一般表达式为：
v== m/sn=0，1，2，…k=0，1，2，…，
取n=0，则当k=0时，v=4.67 m/s，当k=1时，v=2 m/s，
取n=1，则当k=0时，v=23.3 m/s，当k=1时，v=10 m/s，当k=2时，v=6.4 m/s。
故A、C选项可能。对B、D选项可将速度值分别代入v的通式中，则所得等式不成立，排除B、D选项。
点评 波长的多解性和振动的周期性是该题多解的原因。另本题中n、k的取值不一定相同，若有的同学认为n=k，尽管能够选择出正确的选项，但思维方法是错误的。
四、频率多解问题
例4 一列简谐横波在x轴上传播，在t1=0和t2=1 s时的波形图如图6，求波的频率f。
解析 题中未知波的传播方向，所以需对波沿x轴正方向传播和波沿x轴负方向传播两种情况分别讨论。又因为没有明确Δt=（t2-t1）与周期有没有关系，还要考虑波的周期性。
（1）设波沿x轴正方向传播，则有
Δx=nλ+Δx0=4n+1（cm）（n=0，1，2，…）。
又v=，∴v= cm/s=（4n+1） cm/s（n=0，1，2，…），
∴f== Hz=n+ Hz（n=0，1，2，…）。
（2）设波沿x轴负方向传播，则有
Δx′=nλ+Δx0′=4k+3（cm）（k=0，1，2，…），
又v′=，∴v′= cm/s=（4k+3） cm/s（k=0，1，2，…）
∴ f′== Hz=k+ Hz（k=0，1，2，…）
点评 波的传播方向的不确定性和波形的周期重复性使本题有两组解，每一组又有无数个解，导致多解。
一、振动中的时间多解问题
例1 地面上有一固定的圆弧形光滑槽，其弧长远小于圆的曲率半径R，槽边缘有一小球A，圆弧最低点正上方h高处有一小球B（如图1，两球半径均可忽略不计），同时由静止释放两球，不计空气阻力，若使两小球恰好在圆弧最低点相遇，h和R应满足什么关系？
解析 因为?垲R，所以A球在圆弧面上的往复运动具有等时性，是一种等效单摆。其圆弧半径R即为等效单摆的摆长。故A球运动到圆弧最低点所用时间tA为：
tA=+（n=0，1，2，…），
又∵T=2π，
B球自由下落到圆弧最低点所需时间tB为：tB=，
因为两球恰好在圆弧最低点相遇，满足tA=tB，则h=（2n+1）2R（n=0，1，2，…）。
点评 充分注意到振动的周期重复性是求解本题的关键。
二、波长多解问题
例2 一列简谐横波水平向右传播，A、B是沿波的传播方向上的两点。某时刻A处于正向最大位移处，B恰好在平衡位置，如图2。已知A、B两点平衡位置间的距离为70 m，且20 m<λ<80 m，求波长λ。
解析 因B处于平衡状态，振动方向未确定，故应分两种情况讨论。
（1）B向下运动，因波向右传播，可画出此刻可能的波形如图3。由此可将A、B平衡位置间的距离d表示为d=λ+nλ（n=0，1，2，…），
即d=λ+nλ=70 m，可得λ=（m）。
又20 m<λ<80 m，可得
（2）B向上振动，因波向右传播，可画出此刻可能的波形如图4。由此可将A、B平衡位置间的距离d表示为d=λ′+kλ′（k=0，1，2，…），
即d=λ′+kλ′=70 m，可得λ′=（m）。
又20 m<λ′<80 m，可得
点评 波形的不确定性和B点振动方向的不确定性导致本题多解。
三、波速多解问题
例3 如图5，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点距离14.0 m，b点在a点的右方。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动。经过1.00 s后，a点的位移为零且向下运动，而b点的位移恰达到负极大，则这列简谐横波的波速可能等于（）。
A.4.67 m/s B.6 m/s C.10 m/s D.14 m/s
解析 由a点的位移达正极大时，b点位移恰为零，可得该波的波长满足：
λ+kλ=14（k=0，1，2，…），
由经过1.00 s，a点的位移变为零且向下运动（也可由b点的运动情况得到），则该波周期满足：T+nT=1.00（k=0，1，2，…），所以波速的一般表达式为：
v== m/sn=0，1，2，…k=0，1，2，…，
取n=0，则当k=0时，v=4.67 m/s，当k=1时，v=2 m/s，
取n=1，则当k=0时，v=23.3 m/s，当k=1时，v=10 m/s，当k=2时，v=6.4 m/s。
故A、C选项可能。对B、D选项可将速度值分别代入v的通式中，则所得等式不成立，排除B、D选项。
点评 波长的多解性和振动的周期性是该题多解的原因。另本题中n、k的取值不一定相同，若有的同学认为n=k，尽管能够选择出正确的选项，但思维方法是错误的。
四、频率多解问题
例4 一列简谐横波在x轴上传播，在t1=0和t2=1 s时的波形图如图6，求波的频率f。
解析 题中未知波的传播方向，所以需对波沿x轴正方向传播和波沿x轴负方向传播两种情况分别讨论。又因为没有明确Δt=（t2-t1）与周期有没有关系，还要考虑波的周期性。
（1）设波沿x轴正方向传播，则有
Δx=nλ+Δx0=4n+1（cm）（n=0，1，2，…）。
又v=，∴v= cm/s=（4n+1） cm/s（n=0，1，2，…），
∴f== Hz=n+ Hz（n=0，1，2，…）。
（2）设波沿x轴负方向传播，则有
Δx′=nλ+Δx0′=4k+3（cm）（k=0，1，2，…），
又v′=，∴v′= cm/s=（4k+3） cm/s（k=0，1，2，…）
∴ f′== Hz=k+ Hz（k=0，1，2，…）
点评 波的传播方向的不确定性和波形的周期重复性使本题有两组解，每一组又有无数个解，导致多解。