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直线与圆是高中教学中的一个重要内容，如何正确理解直线与圆，以及应用直线与圆来解决高考问题，需要我们注意几点，下面以例来说明。
一、直线方程要注意斜率和截距
直线的斜率是反映直线的倾斜程度的量。截距是反映直线与坐标轴交点所代表的数，可正可负。
例1.自点A（-1，4）作圆x2+y2=1的切线，则切线l的方程为；
解析：当斜率不存在时，直线x=-1明显满足题意；当斜率存在时，设直线l：y-4=k(x+1)，化得：kx-y+k+4=0。由圆心到直线的距离等于半径可得， ，解得k=
-■，此时直线方程为15x+8y-17=0。所以满足条件的直线方程为x=-1和15x+8y-17=0。
常见错误：直接利用 求解得15x+8y-17=0。
求解直线方程中，利用点斜式或斜截式时，特别容易遗忘斜率不存在时候的讨论。有些同学认为利用圆心到直线的距离公式有时候也是可以直接得到正确答案的，主要的原因在于两条直线斜率都是存在的。考虑这类过定点的切线方程还要注意点与圆的位置关系，来确定切线的条数。
例2.已知直线L:ax+(1-2a)y+1-a=0，若直线L在两坐标轴上的截距相等，则a的值为。
解析：分别令x=0和y=0，得在y轴上的截距为■，在x轴上的截距为■，由题意可得■=■，解得a=1或a=■。
常见的错误是利用绝对值相等，即 ，
解得a=1或a=■。虽然结论是正确的，但这里将截距理解成距离等式是错误的。
二、圆的学习要注意有关的几何意义
例3.已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0。求：（1）■的最大值和最小值；（2）y＋x的最大值和最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值。
解析：方法一 （1）令■＝t，则x2+t2x2-4x+1=0，即（1+t2）x2-4x+1=0。
由Δ≥0，得－ ≤t≤ 。∴■的最小值为－ ，最大值为 。
（2）令y＋x＝m，则y＝－x＋m，x2+(-x+m)2-4x+1=0，即2x2-(2m+4)x+m2+1=0。由Δ≥0，得2－ ≤m≤2＋ 。
方法二 （1）■即为圆（x-2）2+y2=3上的点与原点连线的斜率，由于OC＝2，CT1＝CT2= (T1，T2为过O引圆的两切线的切点)，所以∠T1OC＝∠T2OC=60°，∴KOT1＝－ ，KOT2＝ 。∴■∈[－ ， ]，■的最小值为－ ，最大值为 。
（2）令y＋x＝m，y＝－x＋m，直线y＝－x＋m与圆x2+y2-4x+1=0有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，而相切时有 ，|m－2|＝ ，m＝2± 。∴y＋x最大值为2＋ ，最小值为2－ 。
（3） 表示圆x2+y2-4x+1=0上的点到原点的距离，故其最大值为2＋ ，最小值为2－ 。∴x2＋y2的最大值为7＋4 ，最小值为7－4 。
评注：圆上的点构成的题型常常跟几何意义有着密切的关系，在圆的几何意义上进行深入的探讨，可以找到解决问题的最直接的方法。常见的几何意义有：（1）斜率■（(x,y)为图像上的点，(a,b)为定点）；（2）点点距离： ，
其中x,y,a,b同（1）中的意义；（3）线性规划：例如例2中第2小问，常转化为直线与圆的相切问题考虑；（4）点线距离：
或 。
三、直线与圆相结合，要关注直线与圆的位置关系
例4．若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同的交点，则a的取值范围是；
解析：将圆方程化为标准形(x-a)2+(y-2)2=16，可得圆心坐标为(a,2)，半径为4，所以 ，解得-3＜a＜7
例5.已知圆C与两坐标轴都相切，且圆心C到直线y=-x的距离等于 。
（1）求圆C的方程。
（2）若直线l:■+■=1(m＞2，n＞2)与圆C相切，求证：mn≥6+4 。
解析：（1）设圆C半径为r，由已知得：
∴圆C方程为(x-1)2+(y-1)2=1,或(x+1)2+(y+1)2=1。
（2）直线l方程为nx+my-mn=0，∵直线l与圆C:(x-1)2+(y-1)2=1相切，∴ ∴(n+m-mn)2=n2+m2,左边展开，整理得，mn=2m+2n-2。∴m+n=■。∵m＞0，n＞0，m+n≥2 ∴■≥2 ，∴
∴ 或 。∵m＞2，n＞2
∴ ，∴ 。
解决直线和圆的位置关系的解析几何问题,一般直接考虑用圆心到直线的距离与半径等量之间的等式（或不等式）关系,当然也以联立方程组用代数手段解决。
（作者单位：江苏省南通市通州区二甲中学）
一、直线方程要注意斜率和截距
直线的斜率是反映直线的倾斜程度的量。截距是反映直线与坐标轴交点所代表的数，可正可负。
例1.自点A（-1，4）作圆x2+y2=1的切线，则切线l的方程为；
解析：当斜率不存在时，直线x=-1明显满足题意；当斜率存在时，设直线l：y-4=k(x+1)，化得：kx-y+k+4=0。由圆心到直线的距离等于半径可得， ，解得k=
-■，此时直线方程为15x+8y-17=0。所以满足条件的直线方程为x=-1和15x+8y-17=0。
常见错误：直接利用 求解得15x+8y-17=0。
求解直线方程中，利用点斜式或斜截式时，特别容易遗忘斜率不存在时候的讨论。有些同学认为利用圆心到直线的距离公式有时候也是可以直接得到正确答案的，主要的原因在于两条直线斜率都是存在的。考虑这类过定点的切线方程还要注意点与圆的位置关系，来确定切线的条数。
例2.已知直线L:ax+(1-2a)y+1-a=0，若直线L在两坐标轴上的截距相等，则a的值为。
解析：分别令x=0和y=0，得在y轴上的截距为■，在x轴上的截距为■，由题意可得■=■，解得a=1或a=■。
常见的错误是利用绝对值相等，即 ，
解得a=1或a=■。虽然结论是正确的，但这里将截距理解成距离等式是错误的。
二、圆的学习要注意有关的几何意义
例3.已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0。求：（1）■的最大值和最小值；（2）y＋x的最大值和最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值。
解析：方法一 （1）令■＝t，则x2+t2x2-4x+1=0，即（1+t2）x2-4x+1=0。
由Δ≥0，得－ ≤t≤ 。∴■的最小值为－ ，最大值为 。
（2）令y＋x＝m，则y＝－x＋m，x2+(-x+m)2-4x+1=0，即2x2-(2m+4)x+m2+1=0。由Δ≥0，得2－ ≤m≤2＋ 。
方法二 （1）■即为圆（x-2）2+y2=3上的点与原点连线的斜率，由于OC＝2，CT1＝CT2= (T1，T2为过O引圆的两切线的切点)，所以∠T1OC＝∠T2OC=60°，∴KOT1＝－ ，KOT2＝ 。∴■∈[－ ， ]，■的最小值为－ ，最大值为 。
（2）令y＋x＝m，y＝－x＋m，直线y＝－x＋m与圆x2+y2-4x+1=0有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，而相切时有 ，|m－2|＝ ，m＝2± 。∴y＋x最大值为2＋ ，最小值为2－ 。
（3） 表示圆x2+y2-4x+1=0上的点到原点的距离，故其最大值为2＋ ，最小值为2－ 。∴x2＋y2的最大值为7＋4 ，最小值为7－4 。
评注：圆上的点构成的题型常常跟几何意义有着密切的关系，在圆的几何意义上进行深入的探讨，可以找到解决问题的最直接的方法。常见的几何意义有：（1）斜率■（(x,y)为图像上的点，(a,b)为定点）；（2）点点距离： ，
其中x,y,a,b同（1）中的意义；（3）线性规划：例如例2中第2小问，常转化为直线与圆的相切问题考虑；（4）点线距离：
或 。
三、直线与圆相结合，要关注直线与圆的位置关系
例4．若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同的交点，则a的取值范围是；
解析：将圆方程化为标准形(x-a)2+(y-2)2=16，可得圆心坐标为(a,2)，半径为4，所以 ，解得-3＜a＜7
例5.已知圆C与两坐标轴都相切，且圆心C到直线y=-x的距离等于 。
（1）求圆C的方程。
（2）若直线l:■+■=1(m＞2，n＞2)与圆C相切，求证：mn≥6+4 。
解析：（1）设圆C半径为r，由已知得：
∴圆C方程为(x-1)2+(y-1)2=1,或(x+1)2+(y+1)2=1。
（2）直线l方程为nx+my-mn=0，∵直线l与圆C:(x-1)2+(y-1)2=1相切，∴ ∴(n+m-mn)2=n2+m2,左边展开，整理得，mn=2m+2n-2。∴m+n=■。∵m＞0，n＞0，m+n≥2 ∴■≥2 ，∴
∴ 或 。∵m＞2，n＞2
∴ ，∴ 。
解决直线和圆的位置关系的解析几何问题,一般直接考虑用圆心到直线的距离与半径等量之间的等式（或不等式）关系,当然也以联立方程组用代数手段解决。
（作者单位：江苏省南通市通州区二甲中学）