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摘要：新一轮课改实施以来，就小学数学教学而言，“问题解决”已经完全取代了传统的应用题教学。而事实上，传统上属于应用题的内容现已有不少被纳入到了“问题解决”的范围，教学中不应关注采用的名称是“应用题”还是“问题解决”，而应是如何从事相关内容的教学才能更好地实现数学教育的基本目标，特别是促进学生思维的发展。
关键词：问题解决应用题教学数学思维学会思维
新一轮课改实施以来，“问题解决”这一词语已经被广大数学教师所熟悉：不仅被列入数学教育“总目标”，而且成为日常数学教学活动十分重要的一个部分，特别是，就小学数学教学而言，完全取代了传统的应用题教学。课改至今已有近20个年头，我们有必要对相关情况做出总结与反思。另外，教育的整体发展，特别是对于核心素养的大力提倡，也为这方面的进一步思考提供了重要背景或指导思想。
一、聚焦“问题解决”
按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》，数学教育“总目标”包括四个方面：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中，关于“问题解决”的论述是这样的：“初步学会从数学的角度发现问题与提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。学会与他人合作交流。初步形成评价与反思的意识。”显然，这主要可以归结为这样一个认识：数学教育应当培养学生“发现与解决问题的能力”。
如何才能落实这一目标？建议读者首先对此做出自己的解答，然后再与以下论述对照比较。
具体地说，我们应当高度重视国际上的相关实践给我们的启示，因为，“问题解决”正是国际特别是西方各国数学教育界在20世纪90年代的主要口号，而其主要含义就是应以“努力提高学生解决问题的能力”作为数学教育的主要目标。当时，不少学者提出，为了实现这一目标，数学教育的整体设计，包括课程与教学方法等都要做出重大的改变，特别是，全部课程都应采取“问题解决”这样一种形式，也即应当按照“弄清问题”“拟定计划”“实施计划”与“回顾”这样几个步骤进行组织。
当然，这方面的具体工作并不容易。例如，这显然对广大教师的知识储备和专业能力提出了不同要求。另外，从理论的角度看，我们则又应当深入地去思考这样一个问题：如何处理“问题解决”与数学基础知识、基本技能的教学这两者的关系？后者也正是现实中上述“极端化课程设计”何以逐渐为“组合式课程设计”所取代的主要原因。这就是说，由于“极端化课程设计”完全打乱了数学知识的内在体系，大大削弱了学生对于数学基础知识、基本技能的掌握，从而最终遭到了人们的普遍反对，取而代之的则是这样的观点：我们既应坚持数学的知识体系，同时又应高度重视如何能够通过具体知识内容的学习提升学生解决问题的能力，包括适当增加若干关于“问题解决”的专门内容。
这也正是课改后我国采取的主要做法，从《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的相关论述也可清楚地看出。比如，除去“数与代数”“图形与几何” “统计与概率”等领域的知识性内容以外，我们也应将“综合与实践”看成数学课程内容的又一组成成分，而其主要作用就是提升学生解决问题的能力：“‘综合与实践’是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用‘数与代数’‘图形与几何’‘统计与概率’等知识和方法解决问题。‘综合与实践’的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂中完成，也可以课内外相结合。”再如，“总目标的这四个方面，不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。……数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。”也就是说，应当通过具体数学知识技能的学习很好地提升问题解决的能力。
当然，这也可以看成这方面的一个具体工作，即“问题解决”对于传统应用题的彻底取代。教材中有一些题材则属于“问题解决”的专门性内容，如人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”等。
由此可见，作为总结与反思，我们就应注意分析上述工作取得了多大成绩，又有什么不足之处。再则，为了提升学生解决问题的能力，又有哪些环节或方面应当获得我们的足够重视？
以下就是笔者在这方面的一些初步想法：
1.除去恰当地处理“问题解决”与数学基础知识、基本技能的教学之间的关系，国外的相关研究与教学实践还为我们提供了更多有益的启示。
（1）相對于波利亚的早期研究而言，“问题解决”现代研究的一个主要成果就是提供了这方面更加完整的一个概念框架，特别是，这不仅直接涉及主体是否较好地掌握了相关的数学知识与解题策略，也与“元认知”与“观念”等成分密切相关。由此可见，为了提升学生解决问题的能力，我们应当对此予以足够的重视。
（2）“问题解决”作为数学教育的主要口号在实践中暴露出了较大的局限性。例如，这方面十分明显的一个事实是，除去解决问题的能力以外，我们显然也应高度重视学生提出问题能力的培养，包括清楚地认识两者之间的辩证关系。更一般地说，人们更已形成了这样的共识：相对于“解决问题的能力”而言，我们应当更加重视帮助学生学会“数学地思维”。例如，作为“问题解决”现代研究的主要代表人物，美国学者舍费尔德（Alan H. Schoenfeld）就曾对自己在这一方面的工作有过这样的总结：“现在让我回到‘问题解决’这一论题。尽管我在1985年出版的书用了《数学问题解决》这样一个名称，但我现在认识到这一名称的选用不很恰当。我所考虑的是，单纯的问题解决的思想过于狭窄了。我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是由别人提出的问题，而是帮助他们学会数学地思维。”
2.由于缺乏系统、深入的研究，国内的相关实践也表现出了较大的局限性，特别是工作的随意性，从而未能取得较好的教学效果。 比如，广东省深圳市宝安区数学教研员高雅的总结，即可被看成为上述结论提供了具体论据，特别是这样一个事实：这方面的学习主要依靠大量练习，也即所谓的“熟能生巧”，但是，只要遇到稍微复杂一点的问题，学生就表现出了极大的困难。她说——
老师们在实际教学“问题解决”时，大致会关注四个步骤：一是读题，理解实际问题的意思，分析其中所蕴含的数量关系；二是恰当运用解决实际问题的策略，如画图、列表等，直观表达所蕴含的数量关系；三是认真运算；四是仔细思考解得的结果是否符合实际意义，即解释、检验。
但是，由于小学阶段所涉及的数量关系毕竟较少，因此，老师们更青睐熟能生巧，即分各种类型进行大量的练习。这样做的效果在考试中比较明显，是老师们在平时教学中的普遍现象。这样做的弊端在分数乘、除法应用题出现后体现得比较突出。由于缺乏对四则运算的本质意义的深刻理解以及多元表征分数乘法、分数除法的经历，靠记忆套用模式的学生常常在解决分数乘、除法问题时思维混乱，不知该乘还是该除，这也是小学高年段老师最头痛的地方。
而广东省中山市数学教研员刘燕对“问题解决”与传统的应用题教学进行了对照比较，从而为我们提供了一个新的分析视角。她这样总结——
新课改以来，算术应用题不再单独成为一个领域，取而代之的“问题解决”融汇到各个领域之中，这带给“问题解决”两个突出的特点：（1）不再局限于加减乘除问题的解决；（2）加减乘除问题的解决依附于计算学习。如果说第一个特点是一种进步，对学生的思维发展有利，那么第二个特点则是退步，不利于学生的思维发展。
认为是退步，是因为相应的问题解决依附于计算学习，使算术应用题原来的严谨的教学体系不复存在，并且，学生的计算能力与逻辑推理能力的发展并不同步，学生在具备了某种计算能力时并不一定具备相应的逻辑推理能力去解决相应的问题。以人教版教材为例，四年级学生逻辑推理能力比三年级学生强，可是四年级问题解决教学的量比三年级少得多，难度也比三年级要低。三年级问题解决学得很辛苦，四年级问题解决却又没什么可学。老师们以前对各年级学生应当掌握哪些问题解决很清楚，现在却非常模糊。
这正是传统的应用题教学的一个重要教训，即我们不应过分强调某些特殊的问题，而应更加重视由特例向一般性“模式”的过渡。
这也就如波利亚所指出的：“对于一个特例所以要进行这样周密的描述，其目的就是為了从中提出一般的方法和模式。”当然，从更深入的角度看，我们又应认真地去思考：无论就应用题或是“问题解决”的专门教学而言，我们是否应当特别重视“问题”的适当分类？对此我
将在本文第三
部分做具体分析。
3.我们应当努力做到用“问题解决”这样一种方式去从事具体数学知识的教学。这应被看成通过具体数学知识的教学努力提升学生解决问题能力最重要的一个途径。
更为具体地说，这直接关系到了“问题引领”对于数学教学的特殊重要性，或者说，我们应将“知识的问题化”与“问题的知识化”看成数学教学十分重要的一个环节。
参见郑毓信发表于《小学数学教师》2018年第2～4期的三篇“中国数学教学‘问题特色’之系列研究”文章。这一做法还具有一个明显的优点，就是可以起到言传身教的作用，从而帮助学生更好地提升提出与解决问题的能力。
应当强调的是，我们还应跳出“问题解决”，从更广泛的角度进行分析思考。这也可被看成教育的整体发展给予我们的重要启示。
二、由“数学地思维”到“通过数学学会思维”
上面已经提及，这是数学教育界的一项共识：与唯一强调“问题解决”相比较，我们应当更加重视帮助学生学会“数学地思维”。后者不仅直接关系到数学教育的基本目标，也包括这样一个认识：我们应将数学思维的教学渗透于具体数学知识的学习过程，也即应当通过具体数学知识的学习帮助学生学会数学地思维。
（一）“数学思维”的主要内涵
关于“数学思考”
由于现实中人们常常会提到“数学思维”“数学思想”“数学思想方法”与“数学思考”等多个不同的词语，从而有必要对它们的准确含义（包括相互关系）做出清楚的说明。由于篇幅的限制，在此仅指出这样一点：“数学思维”与“数学思想”（包括“数学思想方法”）大致地可被看成是与一般所谓的“过程”和“结果”直接相对应的；另外，由于所谓的“过程性”和“动态性”也可被看成人们在使用“数学思考”这一词语时的基本立场，因此，就无必要对“数学思考”与“数学思维”做出进一步的细分。详见：郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015：435～461。，《义务教育数学课程标准（2011年版）》这样具体论述：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”不难看出，除去“发展形象思维与抽象思维”与“体会数学的基本思想和思维方式”这样两个一般性的论述以外，这一论述主要集中于以下一些核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力与推理能力等。
但是，这是否就可被看成很好地体现了“数学思维”的主要内涵？对此可以具体分析如下：
第一，“数感”“符号意识”和“数据分析观念”尽管的确与数学思维密切相关，但主要地又只是概括地指明了若干特定内容（算术、初中代数、概率与统计）的学习所应实现的目标。与此相对照，作为“数学思维”具体内涵的分析，我们显然又应更加突出数学的整体性特征，特别是数学的抽象性、精确性和应用的广泛性。
参见：【俄】亚历山大洛夫等.数学——它的内容、方法和意义（第一卷）[M]. 孙小礼等译.北京：科学出版社，1984：1。 第二，“空间观念”“几何直观”“运算能力”与“推理能力”显然也可被看成学生通过数学学习应当具备的一些基本能力，从而与“数学思维”相比也有较大的不同。
为了更清楚地说明问题，在此还可对“问题解决”与“数学思维”之间的关系做一分析。因为，按照普遍的认识，“问题解决”主要也应被看成一种能力。对于数学中所说的“问题解决”，我们显然不应简单地理解成如何求得所需要的解答，同时却完全不用顾及使用的是什么样的方法、相关结论是否可靠、又是如何能够对此做出必要的论证的，也完全不用思考如何才能获得真正的理解（即对相关结论做出合理解释）、又是如何能够对此做出适当的优化与必要的推广的，等等。恰恰相反，只有围绕这些问题去进行思考，相应的解题行为才能被看成真正的数学活动。而这事实上就已由单纯的“问题解决”过渡到了“数学地思维”。总之，我们不应将“问题解决”与“数学思维”简单地等同起来，而应将它看成“数学思维”的具体体现和应用，特别是如何能用数学的眼光去观察世界，包括用数学的语言（概念）进行表述；如何能以“模式”的观点去从事研究，即能够超出各个特例以获得普遍性的认识，而不是满足于“就事论事”的经验积累。我们更应对结论的可靠性做出必要的论证以获得真正的理解，并能通过适当的推广与不断的优化获得更深刻的认识。
第三，对于“数学思维”的各个内涵，我们应清楚地看到它们的内在联系，而不应将它们看成是相互独立、互不相干的，如抽象与具体、逻辑（形式）推理与数学直觉、“数”与“形”的必要互补与对立统一等。当然，从总体上说，对于“数学思维”的清楚界定仍然是当前的一项紧迫任务，我们应针对不同的学段，即学生的认识发展水平，对这方面的教学工作做出合理的定位。
第四，从更高的层面看，“数学思维”又可看成一定的价值观念或价值取向的具体体现。也正因此，我们不应脱离具体的数学知识与数学思维的学习去谈论“情感、态度与价值观”的培养，更应清楚地看到这样一个事实：人们主要就是通过“理性思维”的学习与应用逐步发展起了“理性精神”，也即由“思维方法”逐步过渡到了“情感、态度与价值观”。
只有用数学思维的分析带动具体知识内容的教学，我们才能帮助学生真正学好数学知识，因此，就总体而言，我们可以引出这样一个结论：就数学教育“三维目标”的落实而言，“数学思维”应当被看成具有特别的重要性。
（二）用数学思维的分析带动具体知识内容的教学
相对于直接采用“问题解決”这样一种形式而言，我们应当更加重视如何用数学思维的分析带动具体知识内容的教学。后者就是我们帮助学生学会数学地思维的主要途径。因为，数学思维的学习并不能通过实际参与各种数学活动自然而然地得以实现；恰恰相反，我们应当明确肯定外部指导、特别是教师言传身教的重要作用。这就是说，只有教师较好地做到了以数学思维的分析带动具体数学知识的教学，才能使学生真正感受到数学思维的力量，并使数学思维真正成为“可以理解的、可以学到手和加以推广应用的”。
这方面的工作也集中体现了教学工作的创造性：主要地可以被看成数学史的一种“方法论重建”。由此我们也可更清楚地认识“数学思维”与具体数学知识的教学之间的辩证关系，特别是，只有用数学思维的分析带动具体数学知识的教学，我们才能将数学课真正“教懂”“教活”“教深”，即“能够通过自己的教学向学生展现‘活生生的’数学研究工作，而不是死的数学知识，并能帮助他们真正理解相关的内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背，又不仅能够掌握具体的数学知识，也能领会内在的思想方法”。
总之，发挥“数学思维”的指导作用，正是数学教育应当努力实现的一项目标。当然，为了实现这样一个目标，我们又应切实增强自身在这一方面的自觉性，包括通过积极的教学实践与认真的总结与反思，不断提升自身在这方面的认识与能力。例如，除去“问题解决”以外，我们显然也应将“数学思维”渗透于其他各种数学活动，包括“概念的生成、分析与组织”“算法的学习与理解”等；进而，“数学思维”的渗透又不应被理解为某种“事后诸葛亮”式的表面智慧，而应体现于学习的全部过程，包括“开始部分”“中间阶段”与“结束部分”。
（三）提升思维品质是数学教育的主要目标
由“数学地思维”转而更加重视“通过数学学会思维”，即应当将促进学生发展思维特别是提升思维品质看成数学教育的主要目标。
关键词：问题解决应用题教学数学思维学会思维
新一轮课改实施以来，“问题解决”这一词语已经被广大数学教师所熟悉：不仅被列入数学教育“总目标”，而且成为日常数学教学活动十分重要的一个部分，特别是，就小学数学教学而言，完全取代了传统的应用题教学。课改至今已有近20个年头，我们有必要对相关情况做出总结与反思。另外，教育的整体发展，特别是对于核心素养的大力提倡，也为这方面的进一步思考提供了重要背景或指导思想。
一、聚焦“问题解决”
按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》，数学教育“总目标”包括四个方面：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中，关于“问题解决”的论述是这样的：“初步学会从数学的角度发现问题与提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。学会与他人合作交流。初步形成评价与反思的意识。”显然，这主要可以归结为这样一个认识：数学教育应当培养学生“发现与解决问题的能力”。
如何才能落实这一目标？建议读者首先对此做出自己的解答，然后再与以下论述对照比较。
具体地说，我们应当高度重视国际上的相关实践给我们的启示，因为，“问题解决”正是国际特别是西方各国数学教育界在20世纪90年代的主要口号，而其主要含义就是应以“努力提高学生解决问题的能力”作为数学教育的主要目标。当时，不少学者提出，为了实现这一目标，数学教育的整体设计，包括课程与教学方法等都要做出重大的改变，特别是，全部课程都应采取“问题解决”这样一种形式，也即应当按照“弄清问题”“拟定计划”“实施计划”与“回顾”这样几个步骤进行组织。
当然，这方面的具体工作并不容易。例如，这显然对广大教师的知识储备和专业能力提出了不同要求。另外，从理论的角度看，我们则又应当深入地去思考这样一个问题：如何处理“问题解决”与数学基础知识、基本技能的教学这两者的关系？后者也正是现实中上述“极端化课程设计”何以逐渐为“组合式课程设计”所取代的主要原因。这就是说，由于“极端化课程设计”完全打乱了数学知识的内在体系，大大削弱了学生对于数学基础知识、基本技能的掌握，从而最终遭到了人们的普遍反对，取而代之的则是这样的观点：我们既应坚持数学的知识体系，同时又应高度重视如何能够通过具体知识内容的学习提升学生解决问题的能力，包括适当增加若干关于“问题解决”的专门内容。
这也正是课改后我国采取的主要做法，从《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的相关论述也可清楚地看出。比如，除去“数与代数”“图形与几何” “统计与概率”等领域的知识性内容以外，我们也应将“综合与实践”看成数学课程内容的又一组成成分，而其主要作用就是提升学生解决问题的能力：“‘综合与实践’是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用‘数与代数’‘图形与几何’‘统计与概率’等知识和方法解决问题。‘综合与实践’的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂中完成，也可以课内外相结合。”再如，“总目标的这四个方面，不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。……数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。”也就是说，应当通过具体数学知识技能的学习很好地提升问题解决的能力。
当然，这也可以看成这方面的一个具体工作，即“问题解决”对于传统应用题的彻底取代。教材中有一些题材则属于“问题解决”的专门性内容，如人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”等。
由此可见，作为总结与反思，我们就应注意分析上述工作取得了多大成绩，又有什么不足之处。再则，为了提升学生解决问题的能力，又有哪些环节或方面应当获得我们的足够重视？
以下就是笔者在这方面的一些初步想法：
1.除去恰当地处理“问题解决”与数学基础知识、基本技能的教学之间的关系，国外的相关研究与教学实践还为我们提供了更多有益的启示。
（1）相對于波利亚的早期研究而言，“问题解决”现代研究的一个主要成果就是提供了这方面更加完整的一个概念框架，特别是，这不仅直接涉及主体是否较好地掌握了相关的数学知识与解题策略，也与“元认知”与“观念”等成分密切相关。由此可见，为了提升学生解决问题的能力，我们应当对此予以足够的重视。
（2）“问题解决”作为数学教育的主要口号在实践中暴露出了较大的局限性。例如，这方面十分明显的一个事实是，除去解决问题的能力以外，我们显然也应高度重视学生提出问题能力的培养，包括清楚地认识两者之间的辩证关系。更一般地说，人们更已形成了这样的共识：相对于“解决问题的能力”而言，我们应当更加重视帮助学生学会“数学地思维”。例如，作为“问题解决”现代研究的主要代表人物，美国学者舍费尔德（Alan H. Schoenfeld）就曾对自己在这一方面的工作有过这样的总结：“现在让我回到‘问题解决’这一论题。尽管我在1985年出版的书用了《数学问题解决》这样一个名称，但我现在认识到这一名称的选用不很恰当。我所考虑的是，单纯的问题解决的思想过于狭窄了。我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是由别人提出的问题，而是帮助他们学会数学地思维。”
2.由于缺乏系统、深入的研究，国内的相关实践也表现出了较大的局限性，特别是工作的随意性，从而未能取得较好的教学效果。 比如，广东省深圳市宝安区数学教研员高雅的总结，即可被看成为上述结论提供了具体论据，特别是这样一个事实：这方面的学习主要依靠大量练习，也即所谓的“熟能生巧”，但是，只要遇到稍微复杂一点的问题，学生就表现出了极大的困难。她说——
老师们在实际教学“问题解决”时，大致会关注四个步骤：一是读题，理解实际问题的意思，分析其中所蕴含的数量关系；二是恰当运用解决实际问题的策略，如画图、列表等，直观表达所蕴含的数量关系；三是认真运算；四是仔细思考解得的结果是否符合实际意义，即解释、检验。
但是，由于小学阶段所涉及的数量关系毕竟较少，因此，老师们更青睐熟能生巧，即分各种类型进行大量的练习。这样做的效果在考试中比较明显，是老师们在平时教学中的普遍现象。这样做的弊端在分数乘、除法应用题出现后体现得比较突出。由于缺乏对四则运算的本质意义的深刻理解以及多元表征分数乘法、分数除法的经历，靠记忆套用模式的学生常常在解决分数乘、除法问题时思维混乱，不知该乘还是该除，这也是小学高年段老师最头痛的地方。
而广东省中山市数学教研员刘燕对“问题解决”与传统的应用题教学进行了对照比较，从而为我们提供了一个新的分析视角。她这样总结——
新课改以来，算术应用题不再单独成为一个领域，取而代之的“问题解决”融汇到各个领域之中，这带给“问题解决”两个突出的特点：（1）不再局限于加减乘除问题的解决；（2）加减乘除问题的解决依附于计算学习。如果说第一个特点是一种进步，对学生的思维发展有利，那么第二个特点则是退步，不利于学生的思维发展。
认为是退步，是因为相应的问题解决依附于计算学习，使算术应用题原来的严谨的教学体系不复存在，并且，学生的计算能力与逻辑推理能力的发展并不同步，学生在具备了某种计算能力时并不一定具备相应的逻辑推理能力去解决相应的问题。以人教版教材为例，四年级学生逻辑推理能力比三年级学生强，可是四年级问题解决教学的量比三年级少得多，难度也比三年级要低。三年级问题解决学得很辛苦，四年级问题解决却又没什么可学。老师们以前对各年级学生应当掌握哪些问题解决很清楚，现在却非常模糊。
这正是传统的应用题教学的一个重要教训，即我们不应过分强调某些特殊的问题，而应更加重视由特例向一般性“模式”的过渡。
这也就如波利亚所指出的：“对于一个特例所以要进行这样周密的描述，其目的就是為了从中提出一般的方法和模式。”当然，从更深入的角度看，我们又应认真地去思考：无论就应用题或是“问题解决”的专门教学而言，我们是否应当特别重视“问题”的适当分类？对此我
将在本文第三
部分做具体分析。
3.我们应当努力做到用“问题解决”这样一种方式去从事具体数学知识的教学。这应被看成通过具体数学知识的教学努力提升学生解决问题能力最重要的一个途径。
更为具体地说，这直接关系到了“问题引领”对于数学教学的特殊重要性，或者说，我们应将“知识的问题化”与“问题的知识化”看成数学教学十分重要的一个环节。
参见郑毓信发表于《小学数学教师》2018年第2～4期的三篇“中国数学教学‘问题特色’之系列研究”文章。这一做法还具有一个明显的优点，就是可以起到言传身教的作用，从而帮助学生更好地提升提出与解决问题的能力。
应当强调的是，我们还应跳出“问题解决”，从更广泛的角度进行分析思考。这也可被看成教育的整体发展给予我们的重要启示。
二、由“数学地思维”到“通过数学学会思维”
上面已经提及，这是数学教育界的一项共识：与唯一强调“问题解决”相比较，我们应当更加重视帮助学生学会“数学地思维”。后者不仅直接关系到数学教育的基本目标，也包括这样一个认识：我们应将数学思维的教学渗透于具体数学知识的学习过程，也即应当通过具体数学知识的学习帮助学生学会数学地思维。
（一）“数学思维”的主要内涵
关于“数学思考”
由于现实中人们常常会提到“数学思维”“数学思想”“数学思想方法”与“数学思考”等多个不同的词语，从而有必要对它们的准确含义（包括相互关系）做出清楚的说明。由于篇幅的限制，在此仅指出这样一点：“数学思维”与“数学思想”（包括“数学思想方法”）大致地可被看成是与一般所谓的“过程”和“结果”直接相对应的；另外，由于所谓的“过程性”和“动态性”也可被看成人们在使用“数学思考”这一词语时的基本立场，因此，就无必要对“数学思考”与“数学思维”做出进一步的细分。详见：郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015：435～461。，《义务教育数学课程标准（2011年版）》这样具体论述：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”不难看出，除去“发展形象思维与抽象思维”与“体会数学的基本思想和思维方式”这样两个一般性的论述以外，这一论述主要集中于以下一些核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力与推理能力等。
但是，这是否就可被看成很好地体现了“数学思维”的主要内涵？对此可以具体分析如下：
第一，“数感”“符号意识”和“数据分析观念”尽管的确与数学思维密切相关，但主要地又只是概括地指明了若干特定内容（算术、初中代数、概率与统计）的学习所应实现的目标。与此相对照，作为“数学思维”具体内涵的分析，我们显然又应更加突出数学的整体性特征，特别是数学的抽象性、精确性和应用的广泛性。
参见：【俄】亚历山大洛夫等.数学——它的内容、方法和意义（第一卷）[M]. 孙小礼等译.北京：科学出版社，1984：1。 第二，“空间观念”“几何直观”“运算能力”与“推理能力”显然也可被看成学生通过数学学习应当具备的一些基本能力，从而与“数学思维”相比也有较大的不同。
为了更清楚地说明问题，在此还可对“问题解决”与“数学思维”之间的关系做一分析。因为，按照普遍的认识，“问题解决”主要也应被看成一种能力。对于数学中所说的“问题解决”，我们显然不应简单地理解成如何求得所需要的解答，同时却完全不用顾及使用的是什么样的方法、相关结论是否可靠、又是如何能够对此做出必要的论证的，也完全不用思考如何才能获得真正的理解（即对相关结论做出合理解释）、又是如何能够对此做出适当的优化与必要的推广的，等等。恰恰相反，只有围绕这些问题去进行思考，相应的解题行为才能被看成真正的数学活动。而这事实上就已由单纯的“问题解决”过渡到了“数学地思维”。总之，我们不应将“问题解决”与“数学思维”简单地等同起来，而应将它看成“数学思维”的具体体现和应用，特别是如何能用数学的眼光去观察世界，包括用数学的语言（概念）进行表述；如何能以“模式”的观点去从事研究，即能够超出各个特例以获得普遍性的认识，而不是满足于“就事论事”的经验积累。我们更应对结论的可靠性做出必要的论证以获得真正的理解，并能通过适当的推广与不断的优化获得更深刻的认识。
第三，对于“数学思维”的各个内涵，我们应清楚地看到它们的内在联系，而不应将它们看成是相互独立、互不相干的，如抽象与具体、逻辑（形式）推理与数学直觉、“数”与“形”的必要互补与对立统一等。当然，从总体上说，对于“数学思维”的清楚界定仍然是当前的一项紧迫任务，我们应针对不同的学段，即学生的认识发展水平，对这方面的教学工作做出合理的定位。
第四，从更高的层面看，“数学思维”又可看成一定的价值观念或价值取向的具体体现。也正因此，我们不应脱离具体的数学知识与数学思维的学习去谈论“情感、态度与价值观”的培养，更应清楚地看到这样一个事实：人们主要就是通过“理性思维”的学习与应用逐步发展起了“理性精神”，也即由“思维方法”逐步过渡到了“情感、态度与价值观”。
只有用数学思维的分析带动具体知识内容的教学，我们才能帮助学生真正学好数学知识，因此，就总体而言，我们可以引出这样一个结论：就数学教育“三维目标”的落实而言，“数学思维”应当被看成具有特别的重要性。
（二）用数学思维的分析带动具体知识内容的教学
相对于直接采用“问题解決”这样一种形式而言，我们应当更加重视如何用数学思维的分析带动具体知识内容的教学。后者就是我们帮助学生学会数学地思维的主要途径。因为，数学思维的学习并不能通过实际参与各种数学活动自然而然地得以实现；恰恰相反，我们应当明确肯定外部指导、特别是教师言传身教的重要作用。这就是说，只有教师较好地做到了以数学思维的分析带动具体数学知识的教学，才能使学生真正感受到数学思维的力量，并使数学思维真正成为“可以理解的、可以学到手和加以推广应用的”。
这方面的工作也集中体现了教学工作的创造性：主要地可以被看成数学史的一种“方法论重建”。由此我们也可更清楚地认识“数学思维”与具体数学知识的教学之间的辩证关系，特别是，只有用数学思维的分析带动具体数学知识的教学，我们才能将数学课真正“教懂”“教活”“教深”，即“能够通过自己的教学向学生展现‘活生生的’数学研究工作，而不是死的数学知识，并能帮助他们真正理解相关的内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背，又不仅能够掌握具体的数学知识，也能领会内在的思想方法”。
总之，发挥“数学思维”的指导作用，正是数学教育应当努力实现的一项目标。当然，为了实现这样一个目标，我们又应切实增强自身在这一方面的自觉性，包括通过积极的教学实践与认真的总结与反思，不断提升自身在这方面的认识与能力。例如，除去“问题解决”以外，我们显然也应将“数学思维”渗透于其他各种数学活动，包括“概念的生成、分析与组织”“算法的学习与理解”等；进而，“数学思维”的渗透又不应被理解为某种“事后诸葛亮”式的表面智慧，而应体现于学习的全部过程，包括“开始部分”“中间阶段”与“结束部分”。
（三）提升思维品质是数学教育的主要目标
由“数学地思维”转而更加重视“通过数学学会思维”，即应当将促进学生发展思维特别是提升思维品质看成数学教育的主要目标。