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摘要学生核心素养的培养，最终要落在学科核心素养的培育上。数学核心素养是指具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力，主要包括数学抽象、逻辑推理、数学模型，也就是会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。应将数学核心素养的培养贯串于数学教学活动中，并且在教学评价中体现对学科素养的关注。
关键词核心素养；学科核心素养；数学核心素养；数学抽象；逻辑推理；数学模型
中图分类号G63
文献标识码B
文章编号1002-2384（2017）01-0035-03
核心素养的培养，在本质上与以人为本或以学生发展为本的理念是一致的。为了便于理解，我们可以将核心素养抽象为这样几句话：核心素养是后天习得的、与特定情境有关的，而不是随时随地都可以表达出来的东西；是通过人的行为表现出来的，因此是可监测的知识、能力和态度；涉及人与社会、人与自己、人与工具三个方面，最终要落实在人即受教育者身上。
如何进行学生核心素养的培养？我想，最终还是要落在学科核心素养的培育上。我们以数学学科为例来探讨这个问题。数学核心素养包括哪些内容？如何在小学数学教学中培养学生的核心素养？
1. 什么是数学核心素养？
高中数学课程标准将高中阶段的数学核心素养定义为：具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。那么，设定数学核心素养的标准又是什么呢？我们可以这样认为，数学教育的终极目标是，一个人学习数学之后，即便这个人未来从事的工作和数学无关，也应当会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。所谓数学的眼光，本质就是抽象，抽象使得数学具有一般性；所谓数学的思维，本质就是推理，推理使得数学具有严谨性；所谓数学的语言，主要是数学模型，模型使得数学的应用具有广泛性。
基于此，我们将高中阶段的数学核心素养确定为数学抽象、逻辑推理、数学模型、直观想象、数学运算、数据分析六方面。虽然义务教育阶段的数学核心素养现在还没有开始正式讨论，但也离不开义务教育数学课程标准中提到的八个核心词：数感、符号意识、推理能力、模型思想、几何直观、空间想象、运算能力、数据分析观念。我们可以这样理解，数学抽象在义务教育阶段主要表现为符号意识和数感，推理能力即逻辑推理，模型思想即数学模型，直观想象在义务教育阶段体现的就是几何直观和空间想象。还有三个超出数学范畴的一般素养，义务教育阶段强调的是应用意识和创新意识，高中阶段则增加了学会学习。
在终极目标下，我们的数学教学活动应当秉承这样的基本理念：把握数学内容的本质；创设合适的教学情境，提出合理的问题；启发学生独立思考，鼓励学生与他人交流；让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质；让学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。
2. 培养学科核心素养对教师教学提出挑战
教师要在学科教学中帮助学生掌握知识、提高能力、发展素养。形成学科核心素养是终极目标，在本质上，这样的目标不是教师短时间“教”出来的，而是学生领悟出来的，是長期经验的积累，是在一个过程中慢慢形成的。这就需要把常态教学与核心素养的培养结合在一起，老师们在备课时可以将核心素养的要求呈现出来。比如：在教学目标中，教师在设想过程性目标时，不仅要说“经历什么”“探究什么”，还应该明确“得到什么”，比如说，形成“几何直观”素养。与此同时，教师备课不能仅局限于某一堂课，而应当把相对成逻辑体系的知识整合在一起，思考通过这些课程让学生掌握什么样的知识和能力，培养什么素养，然后再考虑每堂课怎样体现。
如何将数学核心素养的培养落实在小学数学教学中？我认为，可从以下三方面着手。
1. 数学抽象：让学生学会“用数学的眼睛看”
义务教育数学课程标准中提到的核心词，如符号意识、数感，甚至几何直观和空间想象，都可以归到数学抽象这个素养中。所谓数学抽象，是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者术语予以表征。简而言之，抽象就是从现实世界进入数学内部，让学生学会用数学的眼睛看。
小学阶段通过抽象得到的是基本概念，还包括关系和法则。抽象的方法有两种：对应和内涵。对应的方法就是给研究对象起个名字，内涵的方法就是给研究对象明确定义。我建议老师们在一、二年级的教学中采用对应的方法，重在让学生感悟；以后可以逐渐采用内涵的方法，重在让学生理解。
比如：启发学生理解“数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？”时，在让学生理解基本概念、关系和规律的同时，教师一定要知道这些内容涉及“符号意识”和“数感”这两个核心素养。在教学过程中，教师一定要让学生感知“数”是一种符号表达，是对数量的抽象，我们可以用对应的方法，从“两匹马”“两头牛”对应到两个小方块，然后再让两个小方块对应符号“2”。仅仅抽象出概念并不是最重要的，更重要的是要抽象出概念之间的关系。数量关系的本质是多和少，因此对应数的关系的本质就是大和小。抽象的核心是舍去现实背景。
“数感”是对数的感悟，其核心是回归现实背景，让学生知道数在不同场合的使用。比如：对于“100”这个数字，我们可以带100元钱去超市，但不可以带100元钱去买房子。
数学是通过抽象得到一般结论。但是，抽象的东西不是具体的存在，而是抽象的存在。比如：现实中没有抽象的“2”，只有具体的“两匹马”“两头牛”。什么是抽象的存在？我们看到了苹果，看到了足球，感觉到一个圆，离开了苹果和足球，脑子里还有一个圆，基于这样的存在我们能在黑板上画出一个圆，这样的存在就是抽象的存在。如同郑板桥所说：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。老师在课堂上教的不是他在黑板上画出来的、具体的圆，而是一般的、抽象的圆。 2. 逻辑推理：让学生学会“用数学的思维想”
义务教育数学课程标准的核心词还提到运算能力和推理能力，这都属于逻辑推理。数学内部的发展依赖的就是逻辑推理。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程。它主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
演绎推理是从大范围内成立的命题推断小范围内命题也成立，只能用来验证知识，不能用来发现新的知识。而归纳推理是通过条件预测结果、通过结果探究成因的推理，其结果是或然成立的，用于发现知识。我们之前的教育，更多的是培养学生的演绎推理能力，缺少归纳推理能力的培养，这对培养创新型人才是不利的。
在数学教学中，教师可以引导学生通过归纳推理探究成因，比如：探究计算方法规定的缘由。在混合运算中，为什么要先乘除后加减？对于“3 2×6=3 12=18”这样的算式，可以举例说明：“操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排。问现在操场上有多少名同学？”其计算的缘由可以理解为：现在同学数=原来同学数 后来同学数=3 2×6，因此可以得到先乘除后加减的结论。教师可以让学生感悟，混合运算是讲两个或者两个以上的故事，先乘除后加减的规定就是一个故事、一个故事地计算。教师要在引导学生逻辑推理的过程中，逐渐帮助他们建立数学的思维模式，这就是会用数学的思维想。
在教学中，如果学生讨论不清楚或者教师讲不明白，那就举例说明。一个好老师的头脑中应该有很多例子，甚至能随时根据需要想出一些例子来。但所有的应用题必须是在生活中能够发生的，不能硬编。
3. 数学模型：让学生学会“用数学的语言说”
义务教育数学课程标准的核心词还有模型思想、数据分析观念等，这都是数学模型素养。数学模型是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型、解决问题的过程。也就是说，数学模型是用数学语言讲述现实世界的故事，是沟通数学与现实世界的桥梁。因此数学模型是一个核心素养。在现代社会，数学的真正应用是模型，模型已经成为一种语言应用于物理、化学这些学科，甚至应用于社会科学和人文学科，数学模型引发的数学特征就是数学应用的广泛性。义务教育数学课程标准中主要提到两个模型，一个是加法模型，一个是乘法模型，或者转化成现实问题，一个是总量模型，一个是路程模型。
数学建模突出学生系统地运用数学知识解决实际问题的过程，因此，教师在数学教学活动中培养学生数学模型核心素养，能够帮助学生感悟数学与现实之间的关联，使其加深对数学内容的理解，逐步积累数学实践经验，进而提升应用能力，增强创新意识。
在基于核心素养的学科教学中，评价与考核很重要，除了考查学生知识技能的获得，还要关注学生学科素养的形成。在近些年实施的基础教育质量监测中，我们在数学领域的监测标准中提出的三个原则，基本体现了对学生数学核心素养培育的关注。
1. 不强调计算速度：重思考深度、轻技巧訓练
我认为，小学数学过分强调计算速度是没有道理的，速度的训练是导致学生课业负担加重的主要原因。我们在后来的基础教育质量监测中，尝试减少题量或者是延长测试时间。素养培养是慢功夫。学校不能动辄考核教师，否则只会导致教师也要求学生拼命练习，通过反复做题训练速度，培养应试技巧。数学学习是需要思考的，教师的一项重要责任，就是要引导和启发学生学会思考、敢于思考、善于思考。
2. 监测内容要指向学科核心素养：关注学生的思维品质
以前的测试主要考查学生对知识点了解、理解、掌握的程度，在基础教育质量监测中，我们要求监测内容中要蕴含数学素养，比如：考查学生对概念的理解，以及学生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象力等，尤其是要关注学生的思维品质，考查学生的思维能力。
有这样一道题目。五年一班和五年二班举行跳绳比赛，每班派10人参加比赛。已经赛完9人，将派最后1名同学上场。五年一班可以在甲、乙两名同学中选出。这两名同学最近成绩是：甲（21、35、39、23、40、25）、乙（27、29、31、33、28、32），这两名同学的平均分差不多，你建议让哪位同学上场比赛？理由是什么？
学生的答案很有意思，城市的孩子大部分都答乙，因为乙的成绩比较稳定；但是郊区有一些孩子生活经验丰富，认为得看赛完九次之后的成绩，如果五年一班输了，那就可以让甲参加比赛，因为甲的成绩跳跃比较大，冲一冲没准这次就赢了。这时候我们发现，学生的思维能力是与生活阅历有关的。
3. 采用满意原则：考查学生的思维过程
我们可以通过开放题来考查学生的思维过程，开放题应当采用加分原则。我曾经给小学四年级出过这样一道题：有两个居民区，中间有一条道路连接，现在要在路边建一个超市，你建议建在哪里？为什么？大部分学生答应该建在中间位置，因为大家走得一样远，这样的回答有道理，可得满分；有的学生答要看居民区人的多少，应该离人多的居民区近一点，这样的回答更好了，可以多加两分；还有的学生答需调查哪个居民区去超市的人多，按比例来建，这样的回答可以再多加两分。只要学生答得更好，就可以给他加分。
在这样的测试中，我们不能仅仅通过结果判断学生答案的对和错，重要的是判断学生的思维过程是否有道理，是否合乎逻辑；只要学生的思维过程与得到的结论是一致的就应该满意，这就是“满意原则”，如果答得更好或者更深度可以再加分。由于开放题的答案是不确定的，这就对我们的老师提出了更高的要求，教师不仅要能出题，还要有判断思维是否有逻辑的能力。因此，教师在日常教学中要教会学生们思考问题，让学生在掌握所学知识技能的同时，积累思维的和实践的经验，形成数学核心素养。
（编辑 谢 凡）
关键词核心素养；学科核心素养；数学核心素养；数学抽象；逻辑推理；数学模型
中图分类号G63
文献标识码B
文章编号1002-2384（2017）01-0035-03
核心素养的培养，在本质上与以人为本或以学生发展为本的理念是一致的。为了便于理解，我们可以将核心素养抽象为这样几句话：核心素养是后天习得的、与特定情境有关的，而不是随时随地都可以表达出来的东西；是通过人的行为表现出来的，因此是可监测的知识、能力和态度；涉及人与社会、人与自己、人与工具三个方面，最终要落实在人即受教育者身上。
如何进行学生核心素养的培养？我想，最终还是要落在学科核心素养的培育上。我们以数学学科为例来探讨这个问题。数学核心素养包括哪些内容？如何在小学数学教学中培养学生的核心素养？
一、学科核心素养培养对学科教学提出新要求
1. 什么是数学核心素养？
高中数学课程标准将高中阶段的数学核心素养定义为：具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。那么，设定数学核心素养的标准又是什么呢？我们可以这样认为，数学教育的终极目标是，一个人学习数学之后，即便这个人未来从事的工作和数学无关，也应当会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。所谓数学的眼光，本质就是抽象，抽象使得数学具有一般性；所谓数学的思维，本质就是推理，推理使得数学具有严谨性；所谓数学的语言，主要是数学模型，模型使得数学的应用具有广泛性。
基于此，我们将高中阶段的数学核心素养确定为数学抽象、逻辑推理、数学模型、直观想象、数学运算、数据分析六方面。虽然义务教育阶段的数学核心素养现在还没有开始正式讨论，但也离不开义务教育数学课程标准中提到的八个核心词：数感、符号意识、推理能力、模型思想、几何直观、空间想象、运算能力、数据分析观念。我们可以这样理解，数学抽象在义务教育阶段主要表现为符号意识和数感，推理能力即逻辑推理，模型思想即数学模型，直观想象在义务教育阶段体现的就是几何直观和空间想象。还有三个超出数学范畴的一般素养，义务教育阶段强调的是应用意识和创新意识，高中阶段则增加了学会学习。
在终极目标下，我们的数学教学活动应当秉承这样的基本理念：把握数学内容的本质；创设合适的教学情境，提出合理的问题；启发学生独立思考，鼓励学生与他人交流；让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质；让学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。
2. 培养学科核心素养对教师教学提出挑战
教师要在学科教学中帮助学生掌握知识、提高能力、发展素养。形成学科核心素养是终极目标，在本质上，这样的目标不是教师短时间“教”出来的，而是学生领悟出来的，是長期经验的积累，是在一个过程中慢慢形成的。这就需要把常态教学与核心素养的培养结合在一起，老师们在备课时可以将核心素养的要求呈现出来。比如：在教学目标中，教师在设想过程性目标时，不仅要说“经历什么”“探究什么”，还应该明确“得到什么”，比如说，形成“几何直观”素养。与此同时，教师备课不能仅局限于某一堂课，而应当把相对成逻辑体系的知识整合在一起，思考通过这些课程让学生掌握什么样的知识和能力，培养什么素养，然后再考虑每堂课怎样体现。
二、如何将学科核心素养培养贯串于教学中
如何将数学核心素养的培养落实在小学数学教学中？我认为，可从以下三方面着手。
1. 数学抽象：让学生学会“用数学的眼睛看”
义务教育数学课程标准中提到的核心词，如符号意识、数感，甚至几何直观和空间想象，都可以归到数学抽象这个素养中。所谓数学抽象，是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者术语予以表征。简而言之，抽象就是从现实世界进入数学内部，让学生学会用数学的眼睛看。
小学阶段通过抽象得到的是基本概念，还包括关系和法则。抽象的方法有两种：对应和内涵。对应的方法就是给研究对象起个名字，内涵的方法就是给研究对象明确定义。我建议老师们在一、二年级的教学中采用对应的方法，重在让学生感悟；以后可以逐渐采用内涵的方法，重在让学生理解。
比如：启发学生理解“数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？”时，在让学生理解基本概念、关系和规律的同时，教师一定要知道这些内容涉及“符号意识”和“数感”这两个核心素养。在教学过程中，教师一定要让学生感知“数”是一种符号表达，是对数量的抽象，我们可以用对应的方法，从“两匹马”“两头牛”对应到两个小方块，然后再让两个小方块对应符号“2”。仅仅抽象出概念并不是最重要的，更重要的是要抽象出概念之间的关系。数量关系的本质是多和少，因此对应数的关系的本质就是大和小。抽象的核心是舍去现实背景。
“数感”是对数的感悟，其核心是回归现实背景，让学生知道数在不同场合的使用。比如：对于“100”这个数字，我们可以带100元钱去超市，但不可以带100元钱去买房子。
数学是通过抽象得到一般结论。但是，抽象的东西不是具体的存在，而是抽象的存在。比如：现实中没有抽象的“2”，只有具体的“两匹马”“两头牛”。什么是抽象的存在？我们看到了苹果，看到了足球，感觉到一个圆，离开了苹果和足球，脑子里还有一个圆，基于这样的存在我们能在黑板上画出一个圆，这样的存在就是抽象的存在。如同郑板桥所说：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。老师在课堂上教的不是他在黑板上画出来的、具体的圆，而是一般的、抽象的圆。 2. 逻辑推理：让学生学会“用数学的思维想”
义务教育数学课程标准的核心词还提到运算能力和推理能力，这都属于逻辑推理。数学内部的发展依赖的就是逻辑推理。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程。它主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
演绎推理是从大范围内成立的命题推断小范围内命题也成立，只能用来验证知识，不能用来发现新的知识。而归纳推理是通过条件预测结果、通过结果探究成因的推理，其结果是或然成立的，用于发现知识。我们之前的教育，更多的是培养学生的演绎推理能力，缺少归纳推理能力的培养，这对培养创新型人才是不利的。
在数学教学中，教师可以引导学生通过归纳推理探究成因，比如：探究计算方法规定的缘由。在混合运算中，为什么要先乘除后加减？对于“3 2×6=3 12=18”这样的算式，可以举例说明：“操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排。问现在操场上有多少名同学？”其计算的缘由可以理解为：现在同学数=原来同学数 后来同学数=3 2×6，因此可以得到先乘除后加减的结论。教师可以让学生感悟，混合运算是讲两个或者两个以上的故事，先乘除后加减的规定就是一个故事、一个故事地计算。教师要在引导学生逻辑推理的过程中，逐渐帮助他们建立数学的思维模式，这就是会用数学的思维想。
在教学中，如果学生讨论不清楚或者教师讲不明白，那就举例说明。一个好老师的头脑中应该有很多例子，甚至能随时根据需要想出一些例子来。但所有的应用题必须是在生活中能够发生的，不能硬编。
3. 数学模型：让学生学会“用数学的语言说”
义务教育数学课程标准的核心词还有模型思想、数据分析观念等，这都是数学模型素养。数学模型是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型、解决问题的过程。也就是说，数学模型是用数学语言讲述现实世界的故事，是沟通数学与现实世界的桥梁。因此数学模型是一个核心素养。在现代社会，数学的真正应用是模型，模型已经成为一种语言应用于物理、化学这些学科，甚至应用于社会科学和人文学科，数学模型引发的数学特征就是数学应用的广泛性。义务教育数学课程标准中主要提到两个模型，一个是加法模型，一个是乘法模型，或者转化成现实问题，一个是总量模型，一个是路程模型。
数学建模突出学生系统地运用数学知识解决实际问题的过程，因此，教师在数学教学活动中培养学生数学模型核心素养，能够帮助学生感悟数学与现实之间的关联，使其加深对数学内容的理解，逐步积累数学实践经验，进而提升应用能力，增强创新意识。
三、如何在教学评价中考查学科核心素养
在基于核心素养的学科教学中，评价与考核很重要，除了考查学生知识技能的获得，还要关注学生学科素养的形成。在近些年实施的基础教育质量监测中，我们在数学领域的监测标准中提出的三个原则，基本体现了对学生数学核心素养培育的关注。
1. 不强调计算速度：重思考深度、轻技巧訓练
我认为，小学数学过分强调计算速度是没有道理的，速度的训练是导致学生课业负担加重的主要原因。我们在后来的基础教育质量监测中，尝试减少题量或者是延长测试时间。素养培养是慢功夫。学校不能动辄考核教师，否则只会导致教师也要求学生拼命练习，通过反复做题训练速度，培养应试技巧。数学学习是需要思考的，教师的一项重要责任，就是要引导和启发学生学会思考、敢于思考、善于思考。
2. 监测内容要指向学科核心素养：关注学生的思维品质
以前的测试主要考查学生对知识点了解、理解、掌握的程度，在基础教育质量监测中，我们要求监测内容中要蕴含数学素养，比如：考查学生对概念的理解，以及学生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象力等，尤其是要关注学生的思维品质，考查学生的思维能力。
有这样一道题目。五年一班和五年二班举行跳绳比赛，每班派10人参加比赛。已经赛完9人，将派最后1名同学上场。五年一班可以在甲、乙两名同学中选出。这两名同学最近成绩是：甲（21、35、39、23、40、25）、乙（27、29、31、33、28、32），这两名同学的平均分差不多，你建议让哪位同学上场比赛？理由是什么？
学生的答案很有意思，城市的孩子大部分都答乙，因为乙的成绩比较稳定；但是郊区有一些孩子生活经验丰富，认为得看赛完九次之后的成绩，如果五年一班输了，那就可以让甲参加比赛，因为甲的成绩跳跃比较大，冲一冲没准这次就赢了。这时候我们发现，学生的思维能力是与生活阅历有关的。
3. 采用满意原则：考查学生的思维过程
我们可以通过开放题来考查学生的思维过程，开放题应当采用加分原则。我曾经给小学四年级出过这样一道题：有两个居民区，中间有一条道路连接，现在要在路边建一个超市，你建议建在哪里？为什么？大部分学生答应该建在中间位置，因为大家走得一样远，这样的回答有道理，可得满分；有的学生答要看居民区人的多少，应该离人多的居民区近一点，这样的回答更好了，可以多加两分；还有的学生答需调查哪个居民区去超市的人多，按比例来建，这样的回答可以再多加两分。只要学生答得更好，就可以给他加分。
在这样的测试中，我们不能仅仅通过结果判断学生答案的对和错，重要的是判断学生的思维过程是否有道理，是否合乎逻辑；只要学生的思维过程与得到的结论是一致的就应该满意，这就是“满意原则”，如果答得更好或者更深度可以再加分。由于开放题的答案是不确定的，这就对我们的老师提出了更高的要求，教师不仅要能出题，还要有判断思维是否有逻辑的能力。因此，教师在日常教学中要教会学生们思考问题，让学生在掌握所学知识技能的同时，积累思维的和实践的经验，形成数学核心素养。
（编辑 谢 凡）