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摘 要： 微分中值定理作为微分学的核心概念之一，在高等数学中具有相当重要的地位和作用，是导数应用的理论基础，对积分学的发展，具有承前启后的重要作用.
关键词： 微分中值定理 教材分析 教学策略 教学体会
引言
之前，我们引进了导数的概念，详细讨论了计算导数的方法.这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，还要以此为基础，发展更多的工具.另外，我们注意到：函数与其导数是两个不同的函数；导数只是反映函数在一点的局部特征；我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系，搭起一座桥，这座“桥”就是微分中值定理.
1.教材分析
我讲解的这门课程所使用的教材是由科学出版社出版的河南工业大学理学院数学系所编写的《高等数学》（轻工类）（第二版）的上册，这本教材的内容符合教学大纲的要求，体系结构清晰，例题丰富，语言通俗易懂，讲解透彻，难度适中.《微分中值定理》这一小节分“罗尔定理”，“拉格朗日中值定理”，“柯西中值定理”三个部分展开，详细讲解第一、第二中值定理，需要一个课时的时间.
1.1教学重、难点
教学重点：微分中值定理的证明；微分中值定理的应用.
难点：辅助函数的构造；定理条件的验证.
1.2学情分析
学生已较好地掌握了函数极限和函数的导数相关知识，正迫切地想知道导数到底有什么用，这种求知欲正好是学习本节内容的前提.另外，本班学生数学基础较好（分层教学A班），思维比较活跃，对数学新内容的学习有相当大的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础.但是本节内容理论性强，抽象度高，内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度.
1.3教学目标
根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：对罗尔微分中值定理的第三个条件去掉得到拉格朗日中值定理进行推广，启发学生得出拉格朗日中值定理的结论，归纳构造辅助函数的方法，发展学生对数学问题的转化能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.
2.教学策略
2.1教法、学法
教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则.以恰当的问题为纽带，给学生创造自主探究、合作交流的空间，启发学生证明中值定理的思路.引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生归纳总结得出微分中值定理构造辅助函数的方法.教学以板书为主，优点在于，学生注意力集中，能有效进行师生互动.
2.2教学流程及时间安排
2.2.1教学流程回顾罗尔中值定理→推广到f（a）和f（b）没有限制相等的一般情形→启发拉格朗日中值定理的结论→构造辅助函数，转化利用罗尔中值定理证明→归纳构造辅助函数的方法→体会拉格朗日中值定理的应用.
2.2.2时间安排及具体授课步骤
1.回顾和导入新课（3分钟）；2.罗尔定理及其证明（10分钟）；3.拉格朗日中值定理及其证明（10分钟）；4.辅助函数的构造及其中值定理的应用（10分钟）；5.典型例题分析和解答（10分钟）；6.总结和作业（2分钟）.
我们先讲罗尔定理，然后根据它推出拉格朗日中值定理.
罗尔定理：设函数f（x）满足：（1）在[a，b]上连续；（2）在（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b），那么在（a，b）内至少存在一点ξ（a<ξ 证明：∵f（x）在[a，b]上连续，∴f（x）在[a，b]上必定取得最大值M和最小值m.
（1）M=m，说明f（x）=M为常值函数，∴f′（x）=0，（？坌x∈（a，b）），此时任取ξ∈（a，b），就有f′（ξ）=0.
（2）M≠m，∵f（a）=f（b），∴M和m至少有一个在（a，b）内取得，不妨假设M=f（ξ）（ξ∈（a，b）），由函数可导的条件和极限的保号性知：
注：①罗尔定理的条件是充分的，结论是定性的.②推广：罗尔定理的第三个条件f（a）=f（b）一般很难保证，我们尝试去掉这个条件，会有什么样的结论产生呢？由此引出拉格朗日中值定理.
关于拉格朗日中值定理，我们采用的证明方法是找原函数：
3.教学体会
通过中值定理的教学，我深有体会.首先，微分中值定理学生掌握有三个难点：（1）定理的选择；（2）辅助函数的构造；（3）条件的验证.其次，上课时应该多采用归纳方法及让学生理解解决问题所用的思考方法，以后学生才能做到举一反三.最后，课堂上教师应该适当穿插人物的介绍，提高学生的学习兴趣.课后要求学生复习并布置适当的作业，目的是加深对基本概念的理解，提高计算能力，进行逻辑推理的训练.
参考文献：
[1]同济大学数学教研室.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.
[2]慕运动，焦万堂.高等数学（第二版）[M].北京：科学出版社，2014.6.
关键词： 微分中值定理 教材分析 教学策略 教学体会
引言
之前，我们引进了导数的概念，详细讨论了计算导数的方法.这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，还要以此为基础，发展更多的工具.另外，我们注意到：函数与其导数是两个不同的函数；导数只是反映函数在一点的局部特征；我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系，搭起一座桥，这座“桥”就是微分中值定理.
1.教材分析
我讲解的这门课程所使用的教材是由科学出版社出版的河南工业大学理学院数学系所编写的《高等数学》（轻工类）（第二版）的上册，这本教材的内容符合教学大纲的要求，体系结构清晰，例题丰富，语言通俗易懂，讲解透彻，难度适中.《微分中值定理》这一小节分“罗尔定理”，“拉格朗日中值定理”，“柯西中值定理”三个部分展开，详细讲解第一、第二中值定理，需要一个课时的时间.
1.1教学重、难点
教学重点：微分中值定理的证明；微分中值定理的应用.
难点：辅助函数的构造；定理条件的验证.
1.2学情分析
学生已较好地掌握了函数极限和函数的导数相关知识，正迫切地想知道导数到底有什么用，这种求知欲正好是学习本节内容的前提.另外，本班学生数学基础较好（分层教学A班），思维比较活跃，对数学新内容的学习有相当大的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础.但是本节内容理论性强，抽象度高，内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度.
1.3教学目标
根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：对罗尔微分中值定理的第三个条件去掉得到拉格朗日中值定理进行推广，启发学生得出拉格朗日中值定理的结论，归纳构造辅助函数的方法，发展学生对数学问题的转化能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.
2.教学策略
2.1教法、学法
教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则.以恰当的问题为纽带，给学生创造自主探究、合作交流的空间，启发学生证明中值定理的思路.引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生归纳总结得出微分中值定理构造辅助函数的方法.教学以板书为主，优点在于，学生注意力集中，能有效进行师生互动.
2.2教学流程及时间安排
2.2.1教学流程回顾罗尔中值定理→推广到f（a）和f（b）没有限制相等的一般情形→启发拉格朗日中值定理的结论→构造辅助函数，转化利用罗尔中值定理证明→归纳构造辅助函数的方法→体会拉格朗日中值定理的应用.
2.2.2时间安排及具体授课步骤
1.回顾和导入新课（3分钟）；2.罗尔定理及其证明（10分钟）；3.拉格朗日中值定理及其证明（10分钟）；4.辅助函数的构造及其中值定理的应用（10分钟）；5.典型例题分析和解答（10分钟）；6.总结和作业（2分钟）.
我们先讲罗尔定理，然后根据它推出拉格朗日中值定理.
罗尔定理：设函数f（x）满足：（1）在[a，b]上连续；（2）在（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b），那么在（a，b）内至少存在一点ξ（a<ξ
（1）M=m，说明f（x）=M为常值函数，∴f′（x）=0，（？坌x∈（a，b）），此时任取ξ∈（a，b），就有f′（ξ）=0.
（2）M≠m，∵f（a）=f（b），∴M和m至少有一个在（a，b）内取得，不妨假设M=f（ξ）（ξ∈（a，b）），由函数可导的条件和极限的保号性知：
注：①罗尔定理的条件是充分的，结论是定性的.②推广：罗尔定理的第三个条件f（a）=f（b）一般很难保证，我们尝试去掉这个条件，会有什么样的结论产生呢？由此引出拉格朗日中值定理.
关于拉格朗日中值定理，我们采用的证明方法是找原函数：
3.教学体会
通过中值定理的教学，我深有体会.首先，微分中值定理学生掌握有三个难点：（1）定理的选择；（2）辅助函数的构造；（3）条件的验证.其次，上课时应该多采用归纳方法及让学生理解解决问题所用的思考方法，以后学生才能做到举一反三.最后，课堂上教师应该适当穿插人物的介绍，提高学生的学习兴趣.课后要求学生复习并布置适当的作业，目的是加深对基本概念的理解，提高计算能力，进行逻辑推理的训练.
参考文献：
[1]同济大学数学教研室.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.
[2]慕运动，焦万堂.高等数学（第二版）[M].北京：科学出版社，2014.6.