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题目：已知动点P到定点F0，14的距离比到x轴的距离多14。
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C。
（Ⅱ）过M1，1作两条互相垂直的直线在x轴上方交曲线C于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标.（2014—2015学年金华十校高二数学（理）调研试题）
解析：（Ⅰ）y=x2或x=0（y<0）；（求解过程略）
对于（Ⅱ），即为如下命题：
命题1抛物线y=x2上有三点A1，1，B，C，AB⊥AC.求证：直线BC过定点，且求出该定点.
1。试题本源
2006江苏高考模拟试题：
图1
如图1，直线y=x+b与抛物线y2=2x相交于A，B两点，O为坐标原点，求当b为何值时，OA⊥OB？（结论：b=-2）
这个问题的实质是把原点作为定点，且当OA⊥OB时，直线经过定点2，0.而命题1是把A1，1作为定点，且仍然保证垂直的情景下探求定点问题.不同的只是直线方程的形式没有呈现，由此就产生以下多角度的求解思路.
2。试题求解
证法一：
证明：设直线BC的方程为x=my+n，点B，C的坐标分别为x1，y1，x2，y2。
联立方程组x=my+n，y=x2，得到mx2-x+n=0.
则x1+x2=1m，x1x2=nm，y1+y2=x21+x22=1-2mnm2，y1y2=x21x22=n2m2.
由AB⊥AC，AB·AC=0，
得x1-1x2-1+y1-1y2-1=0.
化简得2m2+3mn+n2-m-1=0，即2m+n+1m+n-1=0.
所以n=-2m-1，即直线BC过定点-1，2；
（当n=1-m时，直线BC的过点A1，1，舍去）
当m不存在时，直线BC方程为y=2，也过定点-1，2.
证法二：
证明：设点B，C的坐标分别为x1，y1，x2，y2，直线AB的斜率为k，则其方程为y-1=kx-1。
联立方程组y-1=kx-1，y=x2，得x2-kx+k-1=0.解得B点坐标为k-1，k-12.
因为AB⊥AC，所以直线AC的斜率为-1k。
同理可解得C点坐标为-1k-1，-1k-12.
所有直线BC的方程为1+xk2-2x+yk-x-1=0，故直线BC过定点-1，2.
证法三：
证明：设点B，C的坐标分别为x1，x21，x2，x22.
由AB⊥AC，AB·AC=0，x1-1x2-1+x21-1x22-1=0.
即x1x2+x1+x2+2=0。①
而直线BC的方程为y-x21=x1+x2x-x1，即x1x2-x1+x2x+y=0.
由①式知，直线BC过定点-1，2.
3。试题推广
经过笔者思考，得到更一般性的结论，并进一步推广到椭圆，双曲线.
命题2已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上有定点Ax1，y1，动点B，C，满足AB⊥AC.则直线BC过定点e22-e2x1，-e22-e2y1，其中e=a2-b2a.
证明：设直线BC的方程为：y=kx+m，点B，C的坐标分别为x2，y2，x3，y3。
联立方程组y=kx+m，x2a2+y2b2=1，得到：a2k2+b2x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.
有x2+x3=-2a2kma2k2+b2，x2x3=a2m2-a2b2a2k2+b2，y2+y3=2b2ma2k2+b2，y2y3=b2m2-a2b2k2a2k2+b2.
由AB⊥AC，AB·AC=0，x2-x1x3-x1+y2-y1y3-y1=0.
根据x2a2+y2b2=1，化简得到：ckx1+a2cm+b2cm+cy1ckx1+a2cm-b2cm-cy1=0.
由ckx1+a2cm+b2cm+cy1=0得m=-c2a2+b2y1+kx1。
因此，直线BC过定点e22-e2x1，-e22-e2y1.
由ckx1+a2cm-b2cm-cy1=0，m=y1-kx1，直线BC过A点，舍去.
c=a2-b2，e=ca
另外，当直线BC斜率不存在时，可以验证命题成立.
作者单位：浙江省嵊州市马寅初中学
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C。
（Ⅱ）过M1，1作两条互相垂直的直线在x轴上方交曲线C于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标.（2014—2015学年金华十校高二数学（理）调研试题）
解析：（Ⅰ）y=x2或x=0（y<0）；（求解过程略）
对于（Ⅱ），即为如下命题：
命题1抛物线y=x2上有三点A1，1，B，C，AB⊥AC.求证：直线BC过定点，且求出该定点.
1。试题本源
2006江苏高考模拟试题：
图1
如图1，直线y=x+b与抛物线y2=2x相交于A，B两点，O为坐标原点，求当b为何值时，OA⊥OB？（结论：b=-2）
这个问题的实质是把原点作为定点，且当OA⊥OB时，直线经过定点2，0.而命题1是把A1，1作为定点，且仍然保证垂直的情景下探求定点问题.不同的只是直线方程的形式没有呈现，由此就产生以下多角度的求解思路.
2。试题求解
证法一：
证明：设直线BC的方程为x=my+n，点B，C的坐标分别为x1，y1，x2，y2。
联立方程组x=my+n，y=x2，得到mx2-x+n=0.
则x1+x2=1m，x1x2=nm，y1+y2=x21+x22=1-2mnm2，y1y2=x21x22=n2m2.
由AB⊥AC，AB·AC=0，
得x1-1x2-1+y1-1y2-1=0.
化简得2m2+3mn+n2-m-1=0，即2m+n+1m+n-1=0.
所以n=-2m-1，即直线BC过定点-1，2；
（当n=1-m时，直线BC的过点A1，1，舍去）
当m不存在时，直线BC方程为y=2，也过定点-1，2.
证法二：
证明：设点B，C的坐标分别为x1，y1，x2，y2，直线AB的斜率为k，则其方程为y-1=kx-1。
联立方程组y-1=kx-1，y=x2，得x2-kx+k-1=0.解得B点坐标为k-1，k-12.
因为AB⊥AC，所以直线AC的斜率为-1k。
同理可解得C点坐标为-1k-1，-1k-12.
所有直线BC的方程为1+xk2-2x+yk-x-1=0，故直线BC过定点-1，2.
证法三：
证明：设点B，C的坐标分别为x1，x21，x2，x22.
由AB⊥AC，AB·AC=0，x1-1x2-1+x21-1x22-1=0.
即x1x2+x1+x2+2=0。①
而直线BC的方程为y-x21=x1+x2x-x1，即x1x2-x1+x2x+y=0.
由①式知，直线BC过定点-1，2.
3。试题推广
经过笔者思考，得到更一般性的结论，并进一步推广到椭圆，双曲线.
命题2已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上有定点Ax1，y1，动点B，C，满足AB⊥AC.则直线BC过定点e22-e2x1，-e22-e2y1，其中e=a2-b2a.
证明：设直线BC的方程为：y=kx+m，点B，C的坐标分别为x2，y2，x3，y3。
联立方程组y=kx+m，x2a2+y2b2=1，得到：a2k2+b2x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.
有x2+x3=-2a2kma2k2+b2，x2x3=a2m2-a2b2a2k2+b2，y2+y3=2b2ma2k2+b2，y2y3=b2m2-a2b2k2a2k2+b2.
由AB⊥AC，AB·AC=0，x2-x1x3-x1+y2-y1y3-y1=0.
根据x2a2+y2b2=1，化简得到：ckx1+a2cm+b2cm+cy1ckx1+a2cm-b2cm-cy1=0.
由ckx1+a2cm+b2cm+cy1=0得m=-c2a2+b2y1+kx1。
因此，直线BC过定点e22-e2x1，-e22-e2y1.
由ckx1+a2cm-b2cm-cy1=0，m=y1-kx1，直线BC过A点，舍去.
c=a2-b2，e=ca
另外，当直线BC斜率不存在时，可以验证命题成立.
作者单位：浙江省嵊州市马寅初中学