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举世闻名的科学家爱因斯坦有一句名言：“上帝不掷骰子”。在这里，我们不考虑这句话的原意与是非，但一个很显然的结论是，掷骰子对爱因斯坦这样的科学家来说是耳熟能详的事情。之前，伟大的天文学家伽利略也写过标题为《关于骰子游戏的思想》的短文，对抛掷骰子的问题进行了数学化的思考。同时，中国古代也创造了与骰子有关的许多文化。因此，有必要在初中数学综合实践活动中，对骰子、骰子中的数学与文化加以考察与研究，以培养初中学生的观察分析能力、空间想象能力及创新意识。
1 骰子的构造、特点、作用
观察一颗常见的骰子，你会发现，它是一个正六面体，上面分别有一到六个点，其相对两面之点数和为7，骰子1、2、3所对应面的法向量成右手“正交标构”。中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色。从数学的角度看，骰子是随机数发生器，它能随时随地随机地产生1至6的一个数字。
以上骰子的两个特点是确定骰子六面点数顺序的标准：
1.骰子数字的对称性：其相对两面之数字和为7；
2.骰子的右手定则：骰子1、2、3所对应面的法向量成右手“正交标构”。相当于电磁学中用于判断感应电流方向的右手定则。
有了这两个特点，在不考虑骰子的大小、质地与颜色的前提下，骰子各面的点数就被唯一确定，即两颗相同骰子的规定：当两颗骰子的两个相邻面的点数与朝向都相同时，朝向相同的面的点数也相同。也就是说，如果已知骰子两个相邻面的点数，可以推知其余四面的点数，首先根据“其相对两面之数字和为7”这一特点，可以确定已知面的相对面的点数，其次，由右手定则确定剩余两个(相对)面的点数。
事实上，将1至6这6个数字相对应的点分别标在一颗正六面体的各面上，如果不考虑一个面上各点的排列，则有6!=720种标法，尽管其中，从观察的角度去考虑，由于其正六面体的对称性，有许多种标法是相同的，但不同的标法也有很多，如果每颗骰子制作时，在一颗正衣面体的六个面上，随意标上1至6这6个数字相对应的几个点，那么就显得有些杂乱无章，不够规范，造成掷骰子的人，在掷出骰子后，不能根据骰子的滚动，事先判定骰子的点数；也让现在的骰子的生产厂家因无标准而无所适从。但在以上骰子的两个特点下，骰子上各面点数的排列就可以规范化，因为，只要在正六面体同一个顶点的三个面上分别标上1、2、3，其余三个面上所标数字就相应确定下来了。而这1、2、3，三个数字的标法按从小到大的右手定则即可，就象按右手定则画空间直角坐标系一样。以上骰子各面的点数的规范性也使人感受到了前人追求统一和谐的理念。
2 骰子的数学
2.1 一颗骰子的概率问题
对初中学生而言当然可以由“其相对两面之数字和为7”这一特点而想到：若干个连续的自然数之和的求法，再提升之等差数列前Ⅳ项之和的求法。
但就抛掷一颗骰子而言，我们通常用骰子上面的点数来表示掷得的结果，最能想到的数学化的问题就是概率问题：设骰子的构造是均匀的，问掷得的可能结果有哪些?这些结果发生的可能性有多大?解之，可以得到抛掷一颗骰子，掷得的点数的概率分布表：
从中再提出：当多次抛掷一颗骰子后，如何估计掷得的平均点数，你期望它是多少?这就是概率中的数学期望。甚至，可以让学生去讨论此概率分布的特点，为以后学习离散型随机变量的概率分布作铺垫。值得注意的是此题中由于抛掷的次数与每次的结果没有统计，所以其答案是不确定的，只要假设的理由充分，所有的结论都有可能是成立的。
2.2 旋转变换群的元素个数
如果从抛掷一颗骰子的旋转变换的角度去考虑，则产生的数学问题就有点复杂了，有的恐怕要用近世代数的群论或更为高级的数学方法来解决了，因为据网上介绍，马王堆汉墓出土的漆六博具中，一个骰子竟然有18个面。现就常见的正六面体骰子，提出一个问题，并尝试用初中学生也能理解的方法来解决。
让我们设想一下：如果有一个正方体的盒子，刚好能放进一颗骰子，并且，将这盒子的上下、四周的六个面按相对位置分别标上：上、下、前、后、左、右这六个字，抛掷一颗骰子就相当于将一颗骰子随意地放进这盒子中，则骰子的六个面与盒子的六个面可以近似地看成重合，而骰子的六个面与盒子的六个面对应的点数，按“上、前、右、左、后、下”这一顺序构成了一个六维的数组，如(1，2，3，4，5，6)，这样的数组实际上表示的是骰子的一种旋转，或者可以看成是骰子旋转后的六个面的一种平面展开图。我们称这样的数组为可行的置换，这些可行的置换的全体构成了一个集合，我们称之为旋转变换群。现在的问题是要求这旋转变换群的元素个数。解决这一问题的出发点当然是前面提出的骰子的两个特点，我们假设盒子的上面与前面是透明的，可以看见里面骰子对应面的点数，而骰子上面与前面是两个相邻的面，则可知骰子其余四个对应面的点数，但骰子上面与前面对应的点数分别有6与4种可能，故所求元素个数为6×4=24。
2.3 不可行的置换的判定方法
随之而来的另一问题是，由1、2、3、4、5、6这六个数字而产生的数字不重复的六维数组共有6 1=720种，其中表示骰子旋转的共6×4=24种，属于可行的置换；不是表示骰子旋转的共720—24=696种，这样，每一种不是表示骰子旋转的数组，我们都称其为不可行的置换。如何判定这些不可行的置换?其方法可以为：
a.找一颗骰子模拟一下，这是最直接的方法；
b.穷举出24种可行的置换，然后将任一六维数组与之比较；
c.查找可行的置换必须满足的充要条件：
(1)对称性：可行的置换数组的第一位与第六位、第二位与第五位、第三位与第四位上的数字之和为七(由骰子数字的对称性决定)；
(2)可行的置换只能改变0、4、6个数字。我们将(1，2，3，4，5，6)看成是原始数组，它是可行的置换，而将其他的六维数组看成是对原始数组的数字的改变。
首先，任一数字不重复的六维数组如果看成是对原始数组的数字的改变，则改变的数字个数最大是6；其次，由骰子数字的对称性，决定了可行的置换只能改变偶数个数字；第三，可行的置换不能只改变2个数字，因为，如果可行的置换只改变2个数字，则不符合骰子的右手定则；最后，穷举出24种可行的置换，都只改变0、4、6个数字。所以，可行的置换只能改变0、4、6个数字。如：(1，2，3，4，5，6)与(1，4，2，5，3，6)都是可行的置换；而(1，2，4，5，3，6)是不可行的置换，因为它的第三位与第四位上的数字之和不为7；(1，2，4，3，5，6)也是不可行的置换，虽然它满足对称性，但它只改变了第三位与第四位上的共2个数字。
2.4 二颗骰子的概率问题与思考
就抛掷二颗骰子而言，再来谈一谈其数学化的问题。为什么二颗骰子的某些和数的出现看来似乎有同 样大小的可能性，而玩骰子的人们却认为它们不是同等可能的，如和数为7比和数为6更占有优势。(伽利略在一篇写于1613和1623年之间、标题为《关于骰子游戏的思想》的短文中对与此类似的问题做过解释。)
用现代概率语言来描述以上问题就是：设骰子的构造是均匀的，则抛掷两颗骰子，出现和数为7比和数为6的概率大，为什么?将此问题再扩大，就是同时抛掷两颗骰子，问掷得的点数之和有哪些?并求这些结果出现的概率。
分别以两颗骰子的点数为横轴与纵轴建立平面直角坐标系，并在坐标系中画出两颗骰子的点数对应的点，然后，对此问题进行系统研究。可以得出抛掷两颗骰子，掷得的点数之和的概率分布表：
从上图可知，牌成长方形，初用象牙制成，故名牙牌。后改为骨质又叫骨牌。长基本上是宽的二倍，因而一张牌也是由上下两部分组成。每一部分都是一颗骰子的一个面!而且其颜色也和骰子相同的。也就是说，一张牙牌，其点数是由两颗骰子的点数构成的。
而在“挖花牌”中，二颗骰子共21个组合图形都构成了其中的基本牌。前人在“挖花牌”游戏中，还创造了不同的“挖花牌”歌调系列，如当打出一张“地牌”时，就唱与“地”(或二点)有关的句子：“二弟关云长，落马斩颜良”。这样，不用看打出的牌，只听唱曲，就可知打出的是什么牌，甚是有趣。
中国古人将二颗骰子的每个组合都进行了充分的利用，形成了牙牌与“挖花牌”等各种形式的牌，并创造了丰富的文化内涵。而这些牌既可游戏又具有正面的教育意义与文化传承。其游戏规则中似乎还具有一定的哲学含义，尚待研究。可见，骰子虽然只有方寸大小，但其中变化无穷的数字组合之中蕴含的奥秘却可谓气象万千。
后记：暑期把玩骰子二枚，突发奇想，成就《骰子、数学、文化》拙文一篇。本文较为得意之处：一是用数组表示了骰子的旋转变换，给出了一些与此相关的数学问题及其解决的方法与结论，且所用的数学概念来自近世代数中的群论，而其解释的方式，却能为初中学生所接受与理解；二是颠覆了人们对骰子的理解仅限于机会游戏与概率的观念。
1 骰子的构造、特点、作用
观察一颗常见的骰子，你会发现，它是一个正六面体，上面分别有一到六个点，其相对两面之点数和为7，骰子1、2、3所对应面的法向量成右手“正交标构”。中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色。从数学的角度看，骰子是随机数发生器，它能随时随地随机地产生1至6的一个数字。
以上骰子的两个特点是确定骰子六面点数顺序的标准：
1.骰子数字的对称性：其相对两面之数字和为7；
2.骰子的右手定则：骰子1、2、3所对应面的法向量成右手“正交标构”。相当于电磁学中用于判断感应电流方向的右手定则。
有了这两个特点，在不考虑骰子的大小、质地与颜色的前提下，骰子各面的点数就被唯一确定，即两颗相同骰子的规定：当两颗骰子的两个相邻面的点数与朝向都相同时，朝向相同的面的点数也相同。也就是说，如果已知骰子两个相邻面的点数，可以推知其余四面的点数，首先根据“其相对两面之数字和为7”这一特点，可以确定已知面的相对面的点数，其次，由右手定则确定剩余两个(相对)面的点数。
事实上，将1至6这6个数字相对应的点分别标在一颗正六面体的各面上，如果不考虑一个面上各点的排列，则有6!=720种标法，尽管其中，从观察的角度去考虑，由于其正六面体的对称性，有许多种标法是相同的，但不同的标法也有很多，如果每颗骰子制作时，在一颗正衣面体的六个面上，随意标上1至6这6个数字相对应的几个点，那么就显得有些杂乱无章，不够规范，造成掷骰子的人，在掷出骰子后，不能根据骰子的滚动，事先判定骰子的点数；也让现在的骰子的生产厂家因无标准而无所适从。但在以上骰子的两个特点下，骰子上各面点数的排列就可以规范化，因为，只要在正六面体同一个顶点的三个面上分别标上1、2、3，其余三个面上所标数字就相应确定下来了。而这1、2、3，三个数字的标法按从小到大的右手定则即可，就象按右手定则画空间直角坐标系一样。以上骰子各面的点数的规范性也使人感受到了前人追求统一和谐的理念。
2 骰子的数学
2.1 一颗骰子的概率问题
对初中学生而言当然可以由“其相对两面之数字和为7”这一特点而想到：若干个连续的自然数之和的求法，再提升之等差数列前Ⅳ项之和的求法。
但就抛掷一颗骰子而言，我们通常用骰子上面的点数来表示掷得的结果，最能想到的数学化的问题就是概率问题：设骰子的构造是均匀的，问掷得的可能结果有哪些?这些结果发生的可能性有多大?解之，可以得到抛掷一颗骰子，掷得的点数的概率分布表：
从中再提出：当多次抛掷一颗骰子后，如何估计掷得的平均点数，你期望它是多少?这就是概率中的数学期望。甚至，可以让学生去讨论此概率分布的特点，为以后学习离散型随机变量的概率分布作铺垫。值得注意的是此题中由于抛掷的次数与每次的结果没有统计，所以其答案是不确定的，只要假设的理由充分，所有的结论都有可能是成立的。
2.2 旋转变换群的元素个数
如果从抛掷一颗骰子的旋转变换的角度去考虑，则产生的数学问题就有点复杂了，有的恐怕要用近世代数的群论或更为高级的数学方法来解决了，因为据网上介绍，马王堆汉墓出土的漆六博具中，一个骰子竟然有18个面。现就常见的正六面体骰子，提出一个问题，并尝试用初中学生也能理解的方法来解决。
让我们设想一下：如果有一个正方体的盒子，刚好能放进一颗骰子，并且，将这盒子的上下、四周的六个面按相对位置分别标上：上、下、前、后、左、右这六个字，抛掷一颗骰子就相当于将一颗骰子随意地放进这盒子中，则骰子的六个面与盒子的六个面可以近似地看成重合，而骰子的六个面与盒子的六个面对应的点数，按“上、前、右、左、后、下”这一顺序构成了一个六维的数组，如(1，2，3，4，5，6)，这样的数组实际上表示的是骰子的一种旋转，或者可以看成是骰子旋转后的六个面的一种平面展开图。我们称这样的数组为可行的置换，这些可行的置换的全体构成了一个集合，我们称之为旋转变换群。现在的问题是要求这旋转变换群的元素个数。解决这一问题的出发点当然是前面提出的骰子的两个特点，我们假设盒子的上面与前面是透明的，可以看见里面骰子对应面的点数，而骰子上面与前面是两个相邻的面，则可知骰子其余四个对应面的点数，但骰子上面与前面对应的点数分别有6与4种可能，故所求元素个数为6×4=24。
2.3 不可行的置换的判定方法
随之而来的另一问题是，由1、2、3、4、5、6这六个数字而产生的数字不重复的六维数组共有6 1=720种，其中表示骰子旋转的共6×4=24种，属于可行的置换；不是表示骰子旋转的共720—24=696种，这样，每一种不是表示骰子旋转的数组，我们都称其为不可行的置换。如何判定这些不可行的置换?其方法可以为：
a.找一颗骰子模拟一下，这是最直接的方法；
b.穷举出24种可行的置换，然后将任一六维数组与之比较；
c.查找可行的置换必须满足的充要条件：
(1)对称性：可行的置换数组的第一位与第六位、第二位与第五位、第三位与第四位上的数字之和为七(由骰子数字的对称性决定)；
(2)可行的置换只能改变0、4、6个数字。我们将(1，2，3，4，5，6)看成是原始数组，它是可行的置换，而将其他的六维数组看成是对原始数组的数字的改变。
首先，任一数字不重复的六维数组如果看成是对原始数组的数字的改变，则改变的数字个数最大是6；其次，由骰子数字的对称性，决定了可行的置换只能改变偶数个数字；第三，可行的置换不能只改变2个数字，因为，如果可行的置换只改变2个数字，则不符合骰子的右手定则；最后，穷举出24种可行的置换，都只改变0、4、6个数字。所以，可行的置换只能改变0、4、6个数字。如：(1，2，3，4，5，6)与(1，4，2，5，3，6)都是可行的置换；而(1，2，4，5，3，6)是不可行的置换，因为它的第三位与第四位上的数字之和不为7；(1，2，4，3，5，6)也是不可行的置换，虽然它满足对称性，但它只改变了第三位与第四位上的共2个数字。
2.4 二颗骰子的概率问题与思考
就抛掷二颗骰子而言，再来谈一谈其数学化的问题。为什么二颗骰子的某些和数的出现看来似乎有同 样大小的可能性，而玩骰子的人们却认为它们不是同等可能的，如和数为7比和数为6更占有优势。(伽利略在一篇写于1613和1623年之间、标题为《关于骰子游戏的思想》的短文中对与此类似的问题做过解释。)
用现代概率语言来描述以上问题就是：设骰子的构造是均匀的，则抛掷两颗骰子，出现和数为7比和数为6的概率大，为什么?将此问题再扩大，就是同时抛掷两颗骰子，问掷得的点数之和有哪些?并求这些结果出现的概率。
分别以两颗骰子的点数为横轴与纵轴建立平面直角坐标系，并在坐标系中画出两颗骰子的点数对应的点，然后，对此问题进行系统研究。可以得出抛掷两颗骰子，掷得的点数之和的概率分布表：
从上图可知，牌成长方形，初用象牙制成，故名牙牌。后改为骨质又叫骨牌。长基本上是宽的二倍，因而一张牌也是由上下两部分组成。每一部分都是一颗骰子的一个面!而且其颜色也和骰子相同的。也就是说，一张牙牌，其点数是由两颗骰子的点数构成的。
而在“挖花牌”中，二颗骰子共21个组合图形都构成了其中的基本牌。前人在“挖花牌”游戏中，还创造了不同的“挖花牌”歌调系列，如当打出一张“地牌”时，就唱与“地”(或二点)有关的句子：“二弟关云长，落马斩颜良”。这样，不用看打出的牌，只听唱曲，就可知打出的是什么牌，甚是有趣。
中国古人将二颗骰子的每个组合都进行了充分的利用，形成了牙牌与“挖花牌”等各种形式的牌，并创造了丰富的文化内涵。而这些牌既可游戏又具有正面的教育意义与文化传承。其游戏规则中似乎还具有一定的哲学含义，尚待研究。可见，骰子虽然只有方寸大小，但其中变化无穷的数字组合之中蕴含的奥秘却可谓气象万千。
后记：暑期把玩骰子二枚，突发奇想，成就《骰子、数学、文化》拙文一篇。本文较为得意之处：一是用数组表示了骰子的旋转变换，给出了一些与此相关的数学问题及其解决的方法与结论，且所用的数学概念来自近世代数中的群论，而其解释的方式，却能为初中学生所接受与理解；二是颠覆了人们对骰子的理解仅限于机会游戏与概率的观念。